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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

Weiter ist nach Satz 12

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$,

(2)

und da nach dem ersten Teil des gegenwärtigen Beweises der Satz 13 auf die Zahlen $\nu ^{\ast }$, $\mu ^{\ast }$ angewandt werden darf, so gilt die Gleichung

$\left({\frac {\nu ^{\ast },\mu ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {(-1)^{a^{\ast }b^{\ast }}\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)$,

(3)

Aus den Formeln (1), (2), (3) folgt die Richtigkeit des Satzes 13 allgemein.

Aus Satz 13 ergeben sich für das Symbol $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ eine Reihe von wichtigen Formeln, die wir in folgendem Satze zusammenstellen:

Satz 14. Wenn $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige ganze Zahlen des Körpers $k$ sind, so gelten in bezug auf irgendein zu $2$ primes Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ stets die Formeln:

${\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {p}}}\right),\\\left({\frac {\nu _{1}\nu _{2},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {p}}}\right),\\\left({\frac {\nu ,\mu _{1}\mu _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\mu _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\nu ,\mu _{2}}{\mathfrak {p}}}\right).\end{aligned}}$

Beweis. Die erste Formel folgt unmittelbar aus Satz 13.

Um die zweite Formel zu beweisen, nehmen wir an, es gehe das Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$ bez. genau zur $b_{1}$-ten, $b_{2}$-ten, $a$-ten Potenz auf, und setzen dann

${\frac {\nu _{1}^{a}}{\mu ^{b_{1}}}}={\frac {\varrho _{1}}{\sigma _{1}}}$,   ${\frac {\nu _{2}^{a}}{\mu ^{b_{2}}}}={\frac {\varrho _{2}}{\sigma _{2}}}$,

so daß $\varrho _{1},\sigma _{1},\varrho _{2},\sigma _{2}$ ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahlen in $k$ sind. Nach Satz 13 erhalten wir

${\begin{aligned}\left({\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {(-1)^{ab_{1}}\varrho _{1}\sigma _{1}}{\mathfrak {p}}}\right),\\\left({\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {(-1)^{ab_{2}}\varrho _{2}\sigma _{2}}{\mathfrak {p}}}\right),\\\left({\frac {\nu _{1}\nu _{2},\mu }{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {(-1)^{a(b_{1}+b_{2})}\varrho _{1}\varrho _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)\end{aligned}}$

und diese Gleichungen zeigen die Richtigkeit der zweiten Formel.

Die dritte Formel ist eine unmittelbare Folge der ersten und zweiten.

Im Lauf der gegenwärtigen Untersuchung werden wir erkennen, daß die Formeln des Satzes 14 auch für jedes in $2$ aufgehende Primideal des Körpers $k$ gültig sind.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 387. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/404&oldid=- (Version vom 23.2.2020)