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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

in die Gestalt eines Bruches ${\frac {\varrho }{\sigma }}$, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar sind: dann gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {(-1)^{ab}\varrho \sigma }{\mathfrak {p}}}\right)$.

Beweis. Die Sätze 9, 10, 11 zeigen unmittelbar, daß der Satz 13 für $a=1$, $b=0$, für $a=0$, $b=0$ und für $a=0$, $b=1$ gilt. Im Falle $a=1$, $b=1$ haben wir ${\frac {\nu }{\mu }}={\frac {\varrho }{\sigma }}$ zu setzen; da nun

${\frac {\nu }{-\varrho \sigma }}=-{\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}$

die Relativnorm der Zahl ${\frac {\sqrt {\mu }}{\sigma }}$ ist, so ergibt sich nach Satz 12

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {-\varrho \sigma ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$,

und da andererseits nach Satz 9

$\left({\frac {-\varrho \sigma ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {-\varrho \sigma }{\mathfrak {p}}}\right)$

ist, so folgt auch für diesen Fall die Richtigkeit des Satzes 13.

Sind nun $a$, $b$ beliebige ganze rationale nicht negative Exponenten, so möge $a^{\ast }$ den Wert $0$ oder $1$ bedeuten, je nachdem $a$ gerade oder ungerade ausfällt, und entsprechend möge $b^{\ast }$ den Wert $0$ oder $1$ bedeuten, je nachdem $b$ gerade oder ungerade ausfällt. Wir bestimmen jetzt im Körper $k$ eine ganze Zahl $\nu ^{\ast }$, in der genau die $b^{\ast }$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ aufgeht, und eine Zahl $\mu ^{\ast }$, in der genau die $a^{\ast }$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ aufgeht von der Beschaffenheit, daß ${\frac {\nu }{\nu ^{\ast }}}$ und ${\frac {\mu }{\mu ^{\ast }}}$ Quadrate von Zahlen in $k$ sind; dann setzen wir ${\frac {{\nu ^{\ast }}^{a^{\ast }}}{{\mu ^{\ast }}^{b^{\ast }}}}$ gleich einem Bruche ${\frac {\varrho ^{\ast }}{\sigma ^{\ast }}}$, dessen Zähler $\varrho ^{\ast }$ und dessen Nenner $\sigma ^{\ast }$ ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahlen in $k$ sind, und erkennen leicht, daß in der Zahlenreihe

$\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }$,   ${\frac {\varrho ^{\ast }}{\sigma ^{\ast }}}$,   ${\frac {{\nu ^{\ast }}^{a^{\ast }}}{{\mu ^{\ast }}^{b^{\ast }}}}$,   ${\frac {{\nu ^{\ast }}^{a}}{{\mu ^{\ast }}^{b}}}$,   ${\frac {\nu ^{a}}{\mu ^{b}}}$,   ${\frac {\varrho }{\sigma }}$,   $\varrho \sigma$

jede Zahl durch die darauffolgende dividiert, gleich dem Quadrat einer Zahl des Körpers $k$ wird; wir schließen hieraus, daß auch der Quotient der ersten Zahl $\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }$ und der letzten $\varrho \sigma$ in jener Reihe gleich dem Quadrat einer gewissen Zahl $\varkappa$ des Körpers $k$ sein muß. Da andererseits diese Zahlen beide zu ${\mathfrak {p}}$ prim sind, so läßt sich notwendig auch $\varkappa$ in die Gestalt eines Bruches ${\frac {\psi }{\psi ^{\ast }}}$ setzen, dessen Zähler $\psi$ und dessen Nenner $\psi ^{\ast }$ ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahlen in $k$ sind. Wir erhalten mithin ${\psi ^{\ast }}^{2}\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }=\psi ^{2}\varrho \sigma$ und folglich ist $\left({\frac {\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varrho \sigma }{\mathfrak {p}}}\right)$; da ferner $(-1)^{ab}=(-1)^{a^{\ast }b^{\ast }}$ ausfällt, so ist auch

$\left({\frac {(-1)^{a^{\ast }b^{\ast }}\varrho ^{\ast }\sigma ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {(-1)^{ab}\varrho \sigma }{\mathfrak {p}}}\right)$.

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 386. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/403&oldid=- (Version vom 23.2.2020)