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Satz 12. Es sei ein zu primes Primideal des Körpers , ferner seien , , , vier ganze Zahlen in von der Beschaffenheit, daß das Quadrat einer ganzen oder gebrochenen Zahl in und die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers wird: dann gilt stets die Gleichung

.

Beweis. Zunächst bemerken wir, daß wegen der Definition 6 des Symbols offenbar stets die Gleichung

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gilt, da offenbar der durch bestimmte relativquadratische Körper mit dem Körper übereinstimmt.

Ferner wollen wir beweisen, daß, wenn die Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers ist, stets

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ausfällt.

In der Tat, wenn Normenrest des Körpers nach ist, so wird offenbar auch Normenrest dieses Körpers nach . Die umgekehrte Annahme, daß Normenrest des Körpers nach ist, behandeln wir in folgender Weise: Es gehe genau durch die -te Potenz von und genau durch die -te Potenz von auf; es sei ferner eine ganze Zahl in , so daß die Kongruenz

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gilt, wobei einen beliebigen Exponenten der größer als ist, bedeutet. Wir unterscheiden nun drei Fälle, je nachdem im Körper Primideal bleibt oder in zwei gleiche oder in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers weiter zerlegbar ist.

Im ersten Falle muß wegen der Exponent gerade sein und in genau zur -ten Potenz aufgehen; ferner erkennen wir aus (7), daß genau durch die -te Potenz von teilbar sein muß. Nun sei eine durch teilbare, aber zu prime ganze Zahl in . Dann ist gewiß eine ganze Zahl in und wir erhalten nach . Bestimmen wir noch eine ganze Zahl in , so daß nach ausfällt, so folgt nach , d. h. ist Normenrest des Körpers nach .

Im zweiten Falle setzen wir , so daß ein Primideal in bedeutet. Wegen geht in genau die -te Potenz von auf und wegen