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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

Satz 12. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$, ferner seien $\nu$, $\mu$, $\nu ^{*}$, $\mu ^{*}$ vier ganze Zahlen in $k$ von der Beschaffenheit, daß ${\frac {\mu }{\mu ^{*}}}$ das Quadrat einer ganzen oder gebrochenen Zahl in $k$ und ${\frac {\nu }{\nu ^{*}}}$ die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ wird: dann gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{*},\mu ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right)$.

Beweis. Zunächst bemerken wir, daß wegen der Definition 6 des Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ offenbar stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ,\mu ^{*}}{\mathfrak {p}}}\right)$

(5)

gilt, da offenbar der durch ${\sqrt {\mu ^{*}}}$ bestimmte relativquadratische Körper mit dem Körper $K({\sqrt {\mu }})$ übereinstimmt.

Ferner wollen wir beweisen, daß, wenn $\gamma$ die Relativnorm $N(\Gamma )$ einer ganzen Zahl $\Gamma$ des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ ist, stets

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\gamma \nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$

(6)

ausfällt.

In der Tat, wenn $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, so wird offenbar auch $\gamma \nu$ Normenrest dieses Körpers nach ${\mathfrak {p}}$. Die umgekehrte Annahme, daß $\gamma \nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist, behandeln wir in folgender Weise: Es gehe $\nu$ genau durch die $b$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ und $\gamma$ genau durch die $c$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ auf; es sei ferner $\Omega$ eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$, so daß die Kongruenz

$\nu \gamma \equiv N(\Omega ),$ $({\mathfrak {p}}^{c+e})$

(7)

gilt, wobei $e$ einen beliebigen Exponenten der größer als $b$ ist, bedeutet. Wir unterscheiden nun drei Fälle, je nachdem ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ Primideal bleibt oder in zwei gleiche oder in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ weiter zerlegbar ist.

Im ersten Falle muß wegen $\gamma =N(\Gamma )$ der Exponent $c$ gerade sein und ${\mathfrak {p}}$ in $\Gamma$ genau zur ${\frac {c}{2}}$-ten Potenz aufgehen; ferner erkennen wir aus (7), daß $\Omega$ genau durch die ${\frac {c+b}{2}}$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ teilbar sein muß. Nun sei $\alpha$ eine durch ${\frac {\gamma }{{\mathfrak {p}}^{e}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$. Dann ist ${\mathsf {A}}={\frac {\alpha \Omega }{\Gamma }}$ gewiß eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ und wir erhalten $\alpha ^{2}\nu \equiv N({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$. Bestimmen wir noch eine ganze Zahl $\alpha ^{*}$ in $k$, so daß $\alpha \alpha ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ ausfällt, so folgt $\nu \equiv N(\alpha ^{*}{\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$, d. h. $\nu$ ist Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$.

Im zweiten Falle setzen wir ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}^{2}$, so daß ${\mathfrak {P}}$ ein Primideal in $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet. Wegen $\gamma =N(\Gamma )$ geht in $\Gamma$ genau die $c$-te Potenz von ${\mathfrak {P}}$ auf und wegen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 384. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/401&oldid=- (Version vom 9.9.2019)