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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

sicher quadratischer Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$, und es fallen folglich die $n({\mathfrak {p}})-1$ Zahlen

$\alpha _{1}^{2},\alpha _{2}^{2},\ldots ,\alpha _{f}^{2},\quad \alpha _{1}^{2}(\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu ),\alpha _{2}^{2}(\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu ),\ldots ,\alpha _{f}^{2}(\alpha ^{2}\beta ^{2}-\mu )$

(4)

sämtlich untereinander inkongruent nach ${\mathfrak {p}}$ aus. In diesem Falle ist also jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl in $k$ einer der Zahlen (4) nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent. Die Zahlen (4) sind aber bez. die Relativnormen der Zahlen

$\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{f},\quad \alpha _{1}(\alpha \beta +{\sqrt {\mu }}),\alpha _{2}(\alpha \beta +{\sqrt {\mu }}),\ldots ,\alpha _{f}(\alpha \beta +{\sqrt {\mu }}),$

und es ist mithin jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$ der Relativnorm einer ganzen Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ kongruent. Hieraus schließt man weiter, wie im ersten Teil dieses Beweises, daß zu jeder nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbaren Zahl $\nu$ des Körpers $k$ auch für eine beliebig hohe Potenz ${\mathfrak {p}}^{e}$ des Primideals ${\mathfrak {p}}$ stets eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ gefunden werden kann, deren Relativnorm der Zahl $\nu$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ kongruent ist. Damit ist Satz 10 in allen Fällen bewiesen.

Satz 11. Wenn $\nu$, $\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen in $k$ bedeuten und ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal des Körpers $k$ ist, das zu $2$ und zu $\mu$ prim ausfällt, aber in $\nu$ genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$.

Beweis. Ist $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, so wird nach Satz 7 das Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ in zwei voneinander verschiedene Primideale ${\mathfrak {P}}$ und $S{\mathfrak {P}}$ des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ weiter zerlegbar. Wir bestimmen eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K({\sqrt {\mu }})$, welche durch ${\mathfrak {P}}$, aber weder durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ noch durch $S{\mathfrak {P}}$ teilbar ist; dann geht die Relativnorm $\alpha =N({\mathsf {A}})$ der Zahl ${\mathsf {A}}$ genau durch die erste Potenz von ${\mathfrak {p}}$ auf. Es sei $\varrho$ eine durch ${\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$, dann ist ${\frac {\nu \varrho ^{2}}{\alpha }}$ eine ganze zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl und daher zufolge des Satzes 10 Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$. Bedeutet ${\mathfrak {p}}^{e}$ eine beliebige Potenz von ${\mathfrak {p}}$ und setzen wir

${\frac {\nu \varrho ^{2}}{\alpha }}\equiv N({\mathsf {P}})$, $({\mathfrak {p}}^{e})$,

wo ${\mathsf {P}}$ eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ bedeutet, und bestimmen dann $\varrho ^{*}$ als ganze Zahl in $k$, so daß $\varrho \varrho ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ ausfällt, so wird offenbar

$\nu \equiv N(\varrho ^{*}{\mathsf {PA}})$, $({\mathfrak {p}}^{e})$

d. h. es ist $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$.

Umgekehrt, wenn $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ ist und etwa $\nu \equiv N(\Omega )$ nach ${\mathfrak {p}}^{2}$ ausfällt, wo $\Omega$ eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu }})$ ist, so geht $N(\Omega )$ wegen der über $\nu$ gemachten Annahme nur durch die erste Potenz von ${\mathfrak {p}}$ auf; wir haben daher offenbar

${\mathfrak {p}}=({\mathfrak {p}},\Omega )\cdot ({\mathfrak {p}},S\Omega )$,

d. h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt in $K({\sqrt {\mu }})$ in ein Produkt von zwei Idealen und mithin ist nach Satz 7 $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$. Damit ist der Satz 11 vollständig bewiesen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 383. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/400&oldid=- (Version vom 9.9.2019)