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§ 7. Normenreste und Normennichtreste des Körpers und das Symbol .

Definition 6. Es sei irgendein Primideal in , und es seien , beliebige ganze Zahlen in , nur daß nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in ausfällt: wenn dann nach der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers kongruent ist und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von stets eine solche ganze Zahl im Körper gefunden werden kann, daß nach jener Potenz von ausfällt, so nenne ich einen Normenrest des Körpers nach . In jedem anderen Falle nenne ich einen Normennichtrest des Körpers nach .

Ich definiere das Symbol , indem ich

 oder 

setze, je nachdem Normenrest oder Normennichtrest nach ist. Fällt gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in aus, so werde stets

gesetzt.

Das neue Symbol ist durch diese Festsetzungen in jedem Falle definiert, sobald , irgend zwei ganze Zahlen des Körpers und irgendein Primideal des Körpers bedeuten. Das Symbol ist nur der beiden Werte oder fähig.

§ 8. Eigenschaften des Symbols .

In den folgenden Sätzen entwickeln wir einige Eigenschaften des Symbols für den Fall, daß ein nicht in aufgehendes Primideal bedeutet.

Satz 9. Wenn , irgend beliebige ganze Zahlen in bedeuten und ein Primideal des Körpers ist, das zu und zu prim ausfällt, aber in genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung

.

Beweis. Ist , so gibt es nach Definition 1 eine ganze Zahl in , für welche nach wird. Um zu zeigen, daß dann die Kongruenz auch nach jeder beliebigen Potenz von durch geeignete Wahl von lösbar ist, setzen wir

, ,
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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 380. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/397&oldid=- (Version vom 11.2.2020)