§ 6. Das Symbol
.
Definition 4. Wir erweitern nunmehr die Bedeutung des in Definition 1 erklärten Symbols in folgender Weise:
Ist
irgendein Primideal in
, so setzen wir
|
oder oder ,
|
je nachdem
im Körper
in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder nicht zerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideals wird. Ist
das Quadrat einer Zahl in
, so setzen wir stets
|
.
|
Es ist nach den Sätzen 6, 7, 8 leicht möglich, in allen Fällen den Wert des Symbols
zu berechnen und wir erkennen aus Satz 7 im Falle, daß
zu
und
prim ausfällt, die volle Übereinstimmung mit der Definition 1. Was insbesondere den Fall anbetrifft, daß
gleich einem in
aufgehenden Primideal
des Körpers
ist, so bestimmen wir zunächst die höchste Potenz von
, welche in
aufgeht. Ist der Exponent
dieser Potenz ungerade, so haben wir gewiß
; ist
dagegen gerade, so bestimmen wir, wenn
eine durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl bedeutet, eine ganze zu
prime Zahl
in
der Art, daß
|
.
|
Ist hier
nicht dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent, so haben wir mit Rücksicht auf die Sätze 4 und 6 ebenfalls
; im anderen Fall unterscheiden wir, ob
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
auch nach
kongruent ausfällt oder nicht, und haben wegen Satz 8 dementsprechend
oder
.
Definition 5. Ist
ein beliebiges Ideal des Körpers
und hat man
, wo
,
, …,
Primideale in
sind, so möge, wenn
eine beliebige ganze Zahl in
ist, das Symbol
durch die folgende Gleichung definiert werden:
|
.
|
Sind
,
beliebige Ideale in
, so gilt dann offenbar die Gleichung
|
.
|
Das Symbol
ist durch diese Festsetzungen stets definiert, sobald
irgendeine ganze Zahl in
und
irgendein Ideal in
bedeutet. Das Symbol
ist nur der Werte
,
,
fähig.