vorkommt: dann ist
im Körper
in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt oder nicht.
Beweis. Ist
in
weiter zerlegbar und bedeutet
einen Primfaktor von
, so schließen wir aus der Gleichheit der Norm
in
mit der Norm
in
, wie im Beweise des Satzes 7, daß jede ganze Zahl in
einer ganzen Zahl in
nach
kongruent sein muß. Nach Voraussetzung gibt es eine ganze Zahl
in
, so daß
nach
ausfällt; ist dann
irgendeine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl
und weiter
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
, so stellt, wie wir dem Beweise des Satzes 4 entnehmen, der Ausdruck
eine ganze Zahl in
dar. Es gibt also nach dem vorhin Bewiesenen eine ganze Zahl
in
, für welche
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wird. Aus dieser Kongruenz schließen wir
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.
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Mit Rücksicht auf den Umstand, daß
zu
prim ist, können wir in dieser Kongruenz den rechts stehenden Ausdruck durch eine ganze Zahl
des Körpers
ersetzen und erhalten dann
oder .
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(1)
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Da ferner
nach dem Modul 2 und folglich auch nach
ausfällt, so gilt auch die Kongruenz
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(2)
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und durch Multiplikation erhalten wir schließlich aus den beiden Kongruenzen (1) und (2):
.
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Da die linke Seite dieser Kongruenz eine ganze Zahl in
ist, so folgt auch
oder .
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womit eine Aussage des Satzes 8 bewiesen ist.
Nehmen wir nun umgekehrt an, es sei
nach
, wobei
eine ganze Zahl in
ist, so erkennen wir leicht die Richtigkeit der Gleichung
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und hier sind die beiden Primideale rechter Hand wegen
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in der Tat voneinander verschieden; damit ist der Satz 8 vollständig bewiesen.