bezeichnen, so geht offenbar
in der Relativdifferente des Körpers
auf und ist mithin nach Satz 3 ein ambiges Ideal, d. h. es ist nach Definition 3
und
. Wegen dieser Beziehungen ist auch
, und hieraus folgt
. Damit ist der Beweis für den Satz 6 erbracht.
Satz 7. Wenn
ein Primideal des Körpers
bedeutet, welches weder in
noch in
aufgeht, so ist
im Körper
in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem
im Körper
quadratischer Rest oder Nichtrest nach
ist.
Beweis. Es sei
in
quadratischer Rest nach
und demgemäß etwa
eine ganze Zahl in
so, daß die Kongruenz
,
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gilt; alsdann bilden wir die zu einander relativkonjugierten Ideale des Körpers
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und erhalten leicht
.
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Wegen
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sind
und
von einander verschieden.
Es sei umgekehrt das Primideal
des Körpers
in zwei Primideale
und
zerlegbar: dann gelten, wenn allgemein
die Norm im Körper
und
die Norm im Körper
bezeichnet, die Gleichungen
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und mithin ist
.
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Die Gleichheit dieser Normen
und
läßt die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers
einer ganzen Zahl des Körpers
nach
kongruent gesetzt werden kann, da ja irgend
nach
einander inkongruente Zahlen zugleich auch in
nach
ein volles Restsystem bilden müssen; setzen wir insbesondere
nach
, wo
in
liegen soll, so folgt
nach
, und da
eine Zahl in
ist, so muß
auch nach
gelten, d. h. es ist
quadratischer Rest nach
. Damit ist der Satz 7 vollständig bewiesen.
Satz 8. Es sei
ein in
enthaltenes Primideal des Körpers
, und zwar gehe
genau zur
-ten Potenz in
auf; ferner sei
eine zu
prime ganze Zahl in
, welche dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt, so daß nach Satz
das Primideal
nicht in der Relativdiskriminante des Körpers