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bezeichnen, so geht offenbar in der Relativdifferente des Körpers auf und ist mithin nach Satz 3 ein ambiges Ideal, d. h. es ist nach Definition 3 und . Wegen dieser Beziehungen ist auch , und hieraus folgt . Damit ist der Beweis für den Satz 6 erbracht.

Satz 7. Wenn ein Primideal des Körpers bedeutet, welches weder in noch in aufgeht, so ist im Körper in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem im Körper quadratischer Rest oder Nichtrest nach ist.

Beweis. Es sei in quadratischer Rest nach und demgemäß etwa eine ganze Zahl in so, daß die Kongruenz

, 

gilt; alsdann bilden wir die zu einander relativkonjugierten Ideale des Körpers

und erhalten leicht

.

Wegen

sind und von einander verschieden.

Es sei umgekehrt das Primideal des Körpers in zwei Primideale und zerlegbar: dann gelten, wenn allgemein die Norm im Körper und die Norm im Körper bezeichnet, die Gleichungen

und mithin ist

.

Die Gleichheit dieser Normen und läßt die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers einer ganzen Zahl des Körpers nach kongruent gesetzt werden kann, da ja irgend nach einander inkongruente Zahlen zugleich auch in nach ein volles Restsystem bilden müssen; setzen wir insbesondere nach , wo in liegen soll, so folgt nach , und da eine Zahl in ist, so muß auch nach gelten, d. h. es ist quadratischer Rest nach . Damit ist der Satz 7 vollständig bewiesen.

Satz 8. Es sei ein in enthaltenes Primideal des Körpers , und zwar gehe genau zur -ten Potenz in auf; ferner sei eine zu prime ganze Zahl in , welche dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent ausfällt, so daß nach Satz das Primideal nicht in der Relativdiskriminante des Körpers