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und da andererseits die Relativnorm eine ganze Zahl ist, so müssen entweder beide der Zahlen und genau durch die gleiche Potenz von aufgehen oder es müßte jede dieser beiden Zahlen mindestens durch teilbar sein. Das letztere ist nicht der Fall, weil wegen der eben abgeleiteten Gleichung jedenfalls ausfällt und daher sicher nicht durch teilbar sein kann. Es ist daher notwendigerweise und mithin wegen auch oder . Aus folgt ferner und aus folgt ; mithin ist auch . Da eine ganze Zahl sein soll, so haben wir die Kongruenz

,

Wegen läßt sich der Bruch in der Gestalt eines Bruches schreiben, dessen Nenner zu prim ausfällt, und es ist somit notwendig einer gewissen ganzen Zahl des Körpers nach kongruent, so daß auch die Kongruenz

gilt. Hierdurch ist mit Rücksicht auf die aus folgende Gleichung die Richtigkeit des Satzes vollständig gezeigt.

Aus diesem Satze entnehmen wir leicht die folgende besondere Tatsache:

Satz 5 Wenn eine beliebige zu prime ganze Zahl in bedeutet, die nicht das Quadrat einer Zahl in wird, so ist die Relativdiskriminante des Körpers stets dann und nur dann zu prim, wenn dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul kongruent wird.


§ 5. Die Zerlegung der Primideale des Grundkörpers im relativquadratischen Körper .

Die Frage, wie die Primideale des relativquadratischen Körpers durch Zerlegung aus den Primidealen des Körpers entstehen, erledigt sich in den folgenden Sätzen:

Satz 6 Ein Primideal des Körpers ist stets dann und nur dann im Körper gleich dem Quadrat eines Primideals , wenn in der Relativdiskriminante des Körpers aufgeht.


Beweis. Aus folgt und mithin , d. h. ist ein ambiges Primideal des Körpers und als solches nach Satz in der Relativdifferente des Körpers enthalten, d. h. geht geht dann in der Relativdiskriminante auf.

Wenn wir umgekehrt annehmen, daß in der Relativdiskriminante des Körpers aufgehe und mit einen in aufgehenden Primfaktor des Körpers

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 376. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/393&oldid=- (Version vom 11.2.2020)