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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

Das Ideal ${\mathfrak {P}}$ ist also ein ambiges Primideal und nach Satz 3 tritt dasselbe daher in der Relativdifferente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ als Faktor auf; es ist also die Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar.

Ist dagegen der Exponent $a$ gerade, so stellt $\mu ^{*}={\frac {\mu \nu ^{a}}{\pi ^{a}}}$ eine zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$ dar, von der Art, daß ${\sqrt {\mu ^{*}}}$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ liegt; da die Relativdiskriminante der Zahl ${\sqrt {\mu ^{*}}}$ den Wert $2^{2}\mu ^{*}$ hat, so ist sie zu ${\mathfrak {p}}$ prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$.

Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors ${\mathfrak {l}}$. Ist die Kongruenz $(1)$ erfüllt, so muß ${\mathfrak {l}}$ in der Zahl $\alpha ^{2}$ genau zur $a$-ten Potenz aufgehen und mithin ist der Exponent $a$ eine gerade Zahl. Es sei nun $\lambda$ eine durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k$ und weiter sei $\nu$ eine durch ${\frac {\lambda }{\mathfrak {l}}}$ teilbare, aber zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl in $k$: der Ausdruck

$\Omega =\left({\frac {\nu }{\lambda }}\right)^{l+{\frac {a}{2}}}\left(\alpha +{\sqrt {\mu }}\right)$

stellt dann eine ganze Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ dar, da die beiden Ausdrücke

$\Omega +S\Omega =\left({\frac {\nu }{\lambda }}\right)^{l+{\frac {a}{2}}}\cdot 2\alpha$,

$\Omega \cdot S\Omega =\left({\frac {\nu }{\lambda }}\right)^{2l+a}\left(\alpha ^{2}-\mu \right)$,

offenbar ganze Zahlen in $k$ sind. Andererseits hat die Relativdiskriminante der Zahl $\Omega$ den Wert

$\left(\Omega -S\Omega \right)^{2}=\left({\frac {\nu }{\lambda }}\right)^{2l+a}\cdot 2^{2}\mu$

und ist mithin prim zu ${\mathfrak {l}}$; das gleiche gilt also für die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$.

Setzen wir umgekehrt voraus, die Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sei prim zu ${\mathfrak {l}}$, so folgt wegen

${\begin{aligned}{\mathfrak {d}}&=(\Omega _{1}-S\Omega _{1},\quad \Omega _{2}-S\Omega _{2},\dots )^{2}\\&=(\left[\Omega _{1}-S\Omega _{1}\right]^{2},\left[\Omega _{2}-S\Omega _{2}\right]^{2},\dots )\end{aligned}}$,

daß dann notwendig im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ eine ganze Zahl $\Omega$ existieren muß, deren Relativdiskriminante $\left[\Omega -S\Omega \right]^{2}$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim ausfällt; wir setzen

$\Omega ={\frac {\alpha ^{*}+\beta ^{*}{\sqrt {\mu }}}{\gamma ^{*}}}$,

wo $\alpha ^{*},\beta ^{*},\gamma ^{*}$ ganze Zahlen in $k$ bezeichnen, die bez. genau durch die $a^{*}$-te, $b^{*}$-te, $c^{*}$-te Potenz von ${\mathfrak {l}}$ aufgehen mögen. Da nun $\left[\Omega -S\Omega \right]^{2}={\frac {2^{2}\beta ^{*2}\mu }{\gamma ^{*2}}}$ eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl sein soll, so folgt

$2l+2b^{*}+a=2c^{*}$,

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 375. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/392&oldid=- (Version vom 2.7.2019)