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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

ist dies geschehen, so heiße die Zahl

$S{\mathsf {A}}=\alpha -\beta {\sqrt {\mu }}$,

die vermöge der Substitution

$S=\left({\sqrt {\mu }}:-{\sqrt {\mu }}\right)$

aus ${\mathsf {A}}$ entspringende oder zu ${\mathsf {A}}$ relativkonjugierte Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$. Die Zahl

${\mathsf {A}}-S{\mathsf {A}}$

heiße die Relativdifferente der Zahl ${\mathsf {A}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$. Der größte gemeinsame Teiler der Relativdifferenten aller ganzen Zahlen $\Omega _{1},\Omega _{2},\dots$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, d. h. das Ideal

${\mathfrak {D}}=\left(\Omega _{1}-S\Omega _{1},\Omega _{2}-S\Omega _{2},\dots \right)$

heiße die Relativdifferente des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in bezug auf den Körper $k$.

Das Produkt einer Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$ mit der relativkonjugierten Zahl $S{\mathsf {A}}$ heißt die Relativnorm der Zahl ${\mathsf {A}}$ und wird mit $N({\mathsf {A}})$ bezeichnet; es ist also

$N({\mathsf {A}})={\mathsf {A}}\cdot S{\mathsf {A}}$.

Die Relativnorm $N({\mathsf {A}})$ einer Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$ ist stets eine Zahl in $k$.

Ist ${\mathfrak {J}}=({\mathsf {I}}_{1},{\mathsf {I}}_{2},\dots )$ ein beliebiges Ideal der Körpers $K$ und wendet man auf sämtliche ganze Zahlen ${\mathsf {I}}_{1},{\mathsf {I}}_{2},\dots$ dieses Ideals die Substitution $S$ an, so heißt das so entstehende Ideal das zu ${\mathfrak {J}}$ relativkonjugierte Ideal und wird mit $S{\mathfrak {J}}$ bezeichnet; es ist also

$S{\mathfrak {J}}=\left(S{\mathsf {I}}_{1},S{\mathsf {I}}_{2},\dots \right)$.

Das Produkt eines Ideals ${\mathfrak {J}}$ des Körpers $K$ mit dem relativkonjugierten Ideal $S{\mathfrak {J}}$ heißt die Relativnorm des Ideals ${\mathfrak {J}}$ und wird mit $N({\mathfrak {J}})$ bezeichnet; es ist also

$N\left({\mathfrak {J}}\right)={\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}$.

Die Relativnorm eines Ideals ${\mathfrak {J}}$ in $K$ ist stets ein Ideal in $k$.

Das Quadrat der Relativdifferente einer Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$ d. h. die Zahl $\left({\mathsf {A}}-S{\mathsf {A}}\right)^{2}$ heißt die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {A}}$. Die Relativdiskriminante einer Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K$ ist stets eine Zahl in $k$.

Das Quadrat der Relativdifferente des Körpers $K$

${\mathfrak {d}}={\mathfrak {D}}^{2}=\left(\Omega _{1}-S\Omega _{1},\Omega _{2}-S\Omega _{2},\dots \right)^{2}$

heißt die Relativdiskriminante des Körpers $K$. Da die Relativdifferente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K$ ein solches Ideal des Körpers $K$ ist, das seinem relativ konjugierten Ideale gleich wird, so ist die Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ auch gleich der Relativnorm der Relativdifferente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K$; es ist daher die Relativdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ stets ein Ideal in $k$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 373. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/390&oldid=- (Version vom 2.7.2019)