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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

Satz 1 Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges nicht in $2$ aufgehendes Primideal des Körpers $k$ und $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$ ist, so gilt nach dem Modul ${\mathfrak {p}}$ die Kongruenz

$\alpha ^{\frac {n({\mathfrak {p}}-1)}{2}}\equiv \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right),\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$,

worin $n\left({\mathfrak {p}}\right)$ die Norm des Primideals ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$ bedeutet.

Beweis. Ist $\alpha =\beta ^{2}$ nach ${\mathfrak {p}}$, wo $\beta$ wieder eine ganze Zahl in $k$ bedeutet, so folgt nach dem Fermatschen Satze^[1] sofort

$\alpha ^{\frac {n({\mathfrak {p}}-1)}{2}}\equiv \beta ^{n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}\equiv +1,\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$.

Wir nehmen andererseits an, es sei $\alpha$ quadratischer Nichtrest nach ${\mathfrak {p}}$; bezeichnen wir dann mit $\rho$ eine Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$ und setzen $\alpha \equiv \rho ^{a}$ nach ${\mathfrak {p}}$, so muß hierin offenbar der Exponent $a$ eine ungerade Zahl sein. Nach dem Fermatschen Satze ist aber

$\rho ^{n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}\equiv +1,\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$,

und folglich

$\rho ^{\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}\equiv \pm 1,\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$.

(1)

Da in der Reihe der Potenzen $\rho ,\rho ^{2},\rho ^{3},\dots$ die Potenz $\rho ^{n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}$ die erste sein soll, welche $\equiv +1$ nach ${\mathfrak {p}}$ wird, so gilt notwendig auf der rechten Seite der Kongruenz $(1)$ das negative Vorzeichen und demzufolge wird

$\alpha ^{\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}\equiv \rho ^{a{\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}}\equiv -1,\qquad \left({\mathfrak {p}}\right)$.

Aus dem eben bewiesenen Satze 1 folgen leicht die weiteren Tatsachen:

Satz 2 Wenn $\alpha ,\beta$ irgend zwei zu dem Primideal ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahlen in $k$ sind, so gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\alpha \beta }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)$.

Ein vollständiges System von $n\left({\mathfrak {p}}\right)-1$ zu ${\mathfrak {p}}$ primen und einander nach ${\mathfrak {p}}$ inkongruenten Zahlen zerfällt in zwei Teilsysteme, von denen das eine aus den ${\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}$ quadratischen Resten nach ${\mathfrak {p}}$, das andere aus den ${\frac {n\left({\mathfrak {p}}\right)-1}{2}}$ quadratischen Nichtresten nach ${\mathfrak {p}}$ besteht.

§ 2. Die Begriffe Relativnorm, Relativdifferente und Relativdiskriminante.

Definition 2. Jede Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ kann in die Gestalt

${\mathsf {A}}=\alpha +\beta {\sqrt {\mu }}$

gebracht werden, wo $\alpha ,\beta$ ganze oder gebrochene Zahlen des Körpers $k$ sind;

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1. Vgl. meinen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erstatteten Bericht „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper“. 1897, Satz 22 (dieser Band S. 82) und Satz 24 (dieser Band S. 82). Ich werde in der vorliegenden Abhandlung diesen Berioht von mir kurz mit „Algebraische Zahlkörper“ zitieren. (Dieser Band Abh. 7, S. 63-363.)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 372. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/389&oldid=- (Version vom 11.2.2020)