Satz 1
Wenn
ein beliebiges nicht in
aufgehendes Primideal des Körpers
und
eine zu
prime ganze Zahl in
ist, so gilt nach dem Modul
die Kongruenz
,
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worin
die Norm des Primideals
im Körper
bedeutet.
Beweis. Ist
nach
, wo
wieder eine ganze Zahl in
bedeutet, so folgt nach dem Fermatschen Satze[1] sofort
.
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Wir nehmen andererseits an, es sei
quadratischer Nichtrest nach
; bezeichnen wir dann mit
eine Primitivzahl nach
im Körper
und setzen
nach
, so muß hierin offenbar der Exponent
eine ungerade Zahl sein. Nach dem Fermatschen Satze ist aber
,
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und folglich
.
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(1)
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Da in der Reihe der Potenzen
die Potenz
die erste sein soll, welche
nach
wird, so gilt notwendig auf der rechten Seite der Kongruenz
das negative Vorzeichen und demzufolge wird
.
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Aus dem eben bewiesenen Satze 1 folgen leicht die weiteren Tatsachen:
Satz 2
Wenn
irgend zwei zu dem Primideal
prime ganze Zahlen in
sind, so gilt stets die Gleichung
.
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Ein vollständiges System von
zu
primen und einander nach
inkongruenten Zahlen zerfällt in zwei Teilsysteme, von denen das eine aus den
quadratischen Resten nach
, das andere aus den
quadratischen Nichtresten nach
besteht.
§ 2. Die Begriffe Relativnorm, Relativdifferente und Relativdiskriminante.
Definition 2. Jede Zahl
des Körpers
kann in die Gestalt
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gebracht werden, wo
ganze oder gebrochene Zahlen des Körpers
sind;
- ↑ Vgl. meinen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erstatteten Bericht „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper“. 1897, Satz 22 (dieser Band S. 82) und Satz 24 (dieser Band S. 82). Ich werde in der vorliegenden Abhandlung diesen Berioht von mir kurz mit „Algebraische Zahlkörper“ zitieren. (Dieser Band Abh. 7, S. 63-363.)