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für -te Potenzreste, welcher sich sowohl von den Kummerschen wie von meinen bisher gegebenen Beweisen wesentlich dadurch unterscheidet, daß darin das besondere aus der Kreisteilung herstammende Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz nicht zur Verwendung gelangt.

Unter den Anwendungen meiner Theorie nenne ich hier die Aufstellung der Kriterien dafür, daß eine quadratische diophantische Gleichung mit beliebigen algebraischen Koeffizienten in dem durch diese Koeffizienten bestimmten Rationalitätsbereiche lösbar ist.

Die vorliegende Arbeit zerfällt in zwei Abschnitte. Der erste Abschnitt behandelt die allgemeinen Definitionen und vorbereitenden Sätze in der Theorie der relativquadratischen Körper für einen beliebigen Grundkörper , der zweite Abschnitt entwickelt vollständig die Theorie des relativquadratischen Körpers in bezug auf einen solchen Grundkörper , der nebst seinen sämtlichen konjugierten Körpern imaginär ist und überdies eine ungerade Klassenanzahl besitzt. Was den Fall eines beliebigen Grundkörpers betrifft, so gedenke ich die wichtigsten Sätze der entsprechenden Theorie demnächst in den Göttinger Nachrichten mit einer kurzen Angabe der Beweise zu veröffentlichen[1].

I. Allgemeine Definitionen und vorbereitende Sätze.

§ 1. Quadratische Reste und Nichtreste im Grundkörper und das Symbol .

Definition 1. Es sei ein in der Zahl nicht aufgehendes Primideal des Körpers und eine beliebige zu prime ganze Zahl in : dann heiße in quadratischer Rest nach , wenn kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach wird, d. h. wenn die Kongruenz

durch eine ganze Zahl des Körpers befriedigt werden kann; im anderen Falle heiße quadratischer Nichtrest nach . Wir definieren jetzt das Symbol ‚ indem wir, wenn in quadratischer Rest nach ist,

und im anderen Fall

setzen.


  1. Vgl. meinen in der Mathematiker-Vereinigung zu Braunschweig 1897 gehaltenen Vortrag „Über die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper“. (Dieser Band Abh. 8, S. 364–369.)
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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 371. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/388&oldid=- (Version vom 31.7.2018)