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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 8

eine Unterscheidung der verschiedenen Möglichkeiten dieser Zerlegung und die Einführung mannigfacher willkürlicher Annahmen nötig machen würde. Auch ist die Fassung, welche Kummer seinen allgemeinen Reziprozitätsgesetzen gegeben hat, schon deshalb für uns nicht verwendbar, weil wir bei ihrer Annahme dem Körper $k$ die beschränkende Bedingung auferlegen müßten, daß seine Klassenanzahl ungerade ist; es wird sich aber zeigen, daß uns der Fall einer durch $2$ teilbaren Klassenanzahl zu den schönsten und wertvollsten Resultaten führt.

Aus den angegebenen Gründen erscheint mir die Einführung eines neuen Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ in die Zahlentheorie nötig, welches in unserem Falle der Theorie eines relativquadratischen Körpers, wie folgt, zu definieren ist. Sind $\nu ,\mu$ ganze Zahlen in $k$, dabei $\mu$ nicht Quadratzahl, und ist ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal in $k$, so bezeichne jenes Symbol den Wert

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

(1)

sobald die Zahl $\nu$ mit der Relativnorm einer ganzen Zahl des durch ${\sqrt {\mu }}$ bestimmten relativquadratischen Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nach dem Primideal ${\mathfrak {w}}$ kongruent ist, und sobald außerdem auch für jede höhere Potenz von ${\mathfrak {w}}$ eine ganze Zahl in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ existiert, deren Relativnorm der Zahl $\nu$ nach jener Potenz von ${\mathfrak {w}}$ kongruent ist; in jedem anderen Falle setzen wir

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=-1$ .

(2)

Diejenigen ganzen Zahlen $\nu$, für welche die Gleichung $(1)$ gilt, sollen Normenreste ^[1] des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nach ${\mathfrak {w}}$, diejenigen Zahlen, für welche die Gleichung $(2)$ gilt, Normennichtreste des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nach ${\mathfrak {w}}$ heißen. Wenn $\mu$ das Quadrat einer Zahl in $k$ ist, möge die Gleichung $(1)$ gelten. Der Bildung der Begriffe „Normenrest“ und „Normennichtrest“ entspricht in der Funktionentheorie gewissermaßen die Unterscheidung, ob eine algebraische Funktion einer Variablen an einer Stelle nach ganzen oder nach gebrochenen Potenzen der Variablen entwickelt werden kann.

Die ersten Sätze für das eben definierte Symbol sind in den Formeln enthalten:

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {w}}}\right)$ ,

$\left({\frac {\nu \nu ',\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)\left({\frac {\nu ',\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ ,

$\left({\frac {\nu ,\mu \mu '}{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)\left({\frac {\nu ,\mu '}{\mathfrak {w}}}\right)$;

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1. Vgl. meinen Bericht über die Theorie der Zahlkörper. (Dieser Band, Abh. 7, S. 161/162 und 257).

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 365. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/382&oldid=- (Version vom 31.7.2018)