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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

wenn wir die dort auf S. 274 unten angegebene Definition des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ zugrunde legen,

$\{\nu ,\mu \}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$;

in dieser Gleichung erkennen wir dann den Satz 163 (S. 328) wieder.

Sind insbesondere die beiden Zahlen $\nu$, $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim und ${\bar {\nu }}$, ${\bar {\mu }}$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$, die mit den ersteren durch die Kongruenzen

$\nu \equiv {\bar {\nu }}$, $\mu \equiv {\bar {\mu }}$, $({\mathfrak {l}}^{l})$

verknüpft sind, so erhalten wir durch Benutzung des Hilfssatzes 48 leicht

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},{\bar {\mu }}}{\mathfrak {l}}}\right\}.$

Hieraus und in Ansehung der Formeln (182) entnehmen wir folgende Tatsache: Wenn die beiden Zahlen $\nu$, $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind und

${\begin{aligned}\nu &\equiv a^{l}(1+\lambda )^{n_{1}}(1+\lambda ^{2})^{n_{2}}\cdots (1+\lambda ^{l-1})^{n_{l-1}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}),\\\mu &\equiv b^{l}(1+\lambda )^{m_{1}}(1+\lambda ^{2})^{m_{2}}\cdots (1+\lambda ^{l-1})^{m_{l-1}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l})\end{aligned}}$

gesetzt wird, wo $a$, $b$ und die Exponenten

$n_{1}$, $n_{2}$, …, $n_{l-1}$; $m_{1}$, $m_{2}$, …, $m_{l-1}$

ganze rationale Zahlen sind, so besteht eine Gleichung von der Gestalt

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{L(n_{1},\ldots ,n_{l-1};m_{1},\ldots ,m_{l-1})};$

dabei ist $L$ eine homogene bilineare Funktion der beiden Reihen von Veränderlichen $n_{1},\ldots ,n_{l-1};m_{1},\ldots ,m_{l-1}$, und die Koeffizienten von $L$ sind ganze rationale Zahlen, die nur von der Primzahl $l$ abhängen, und die man bei gegebenem Werte der Primzahl $l$ etwa durch besondere Annahmen der Zahlen $\nu$, $\mu$ leicht berechnen kann.

Nachdem nun das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ definiert und seine wichtigsten Eigenschaften abgeleitet worden sind, dürfen wir die in diesem Kapitel bisher festgehaltene Einschränkung auf Kummersche Körper mit einer zu ${\mathfrak {l}}$ primen Relativdiskriminante fallen lassen; es gelangen dann, genau wie oben, die Sätze 164 (S. 329), 165 (S. 331), 166 (S. 332) und vor allem der Fundamentalsatz 167 (S. 332) zum Nachweise. Mit Hilfe dieses Satzes 167 und geeigneter Benutzung des Satzes 152 (S. 276) läßt sich dann auch zeigen, daß, wenn $\nu ,\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen in $k(\zeta )$ mit der Eigenschaft $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ sind und $\mu$ nicht gleich der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ ausfällt, die Zahl $\nu$ stets Normenrest des Kummerschen Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ sein muß. Damit ist dann der Satz 151 (S. 272) für den Fall ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ nachträglich als richtig erkannt, und es folgt hieraus auch die Gültigkeit des Satzes 150 (S. 257) für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$. Bei der hier dargelegten Begründungsart der Theorie des

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 348. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/365&oldid=- (Version vom 9.9.2019)