Entsprechend beweisen wir
.
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Aus Formel (183) ergibt sich ferner
.
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Die drei letzten Gleichungen zusammengenommen liefern
, d. h. ,
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und damit ist der Hilfssatz 49 bewiesen.
Wählen wir insbesondere
,
als Primärzahlen von zwei beliebigen Primidealen
,
in
, so ist die Aussage des Hilfssatzes 49 mit dem allgemeinen Reziprozitätsgesetze 161 (S. 312) für diese Primideale
,
gleichbedeutend.
§ 171.
Übereinstimmung des Symbols
mit dem Symbol
.
Wir schließen aus Satz 151 (S. 272), wobei nur der Fall
dieses Satzes zur Anwendung kommt, daß
stets den Wert
besitzt, sobald
die Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers
ist; und endlich gelingt jetzt auch der Nachweis dafür, daß
stets den Wert
hat, sobald die ganze Zahl
Normenrest des Körpers
nach
ist. In der Tat, nehmen wir der Kürze wegen an, daß beide Zahlen
,
zu
prim sind, und setzen wir
nach
, wo
die Relativnorm einer ganzen Zahl
in
bedeuten soll, so ist die Zahl
offenbar der
-ten Potenz einer ganzen Zahl nach
kongruent; daher wird unter Benutzung der Formeln (182) sowie mit Rücksicht auf die vorausgeschickten Bemerkungen und den Hilfssatz 48:
,
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wie behauptet wurde. Wenn eine der Zahlen
,
oder beide durch
teilbar sind, so gelingt der Nachweis dieser Formel ebenfalls ohne Mühe vermöge der nämlichen Hilfsmittel.
Ist
eine ganze, zu
prime Zahl in
, so folgt aus (181) leicht die Gleichung
;
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demnach erfüllt der Ausdruck
sämtliche Forderungen, die für das Symbol
am Schluß des § 133 aufgestellt worden sind; es ist somit,