Nun muß nach dem oben Bewiesenen das Produkt derselben gleich
sein; dies liefert mit Rücksicht auf (178) und auf die letzte Gleichung in (176) die Beziehung
,
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wo das Produkt über alle von
verschiedenen Primideale
zu erstrecken ist; daraus folgt dann weiter mit Hilfe von (175)
d. h. ;
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(179)
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der Hilfssatz 48 gilt also auch in dem Falle, daß
eine beliebige Einheit in
vorstellt.
Nunmehr sei
irgendein Primideal der ersten Art, welches die Bedingung
erfüllt und folglich in
zerlegbar ist. Die
Charaktere eines beliebigen Primfaktors von
sind, wenn
eine Primärzahl von
und
eine geeignete Einheit in
bedeutet,
, .
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Da das Produkt derselben gleich
sein muß, so folgt wie vorhin:
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und hieraus wegen (179):
.
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Ist endlich
ein solches, zu
primes Primideal erster Art, für welches
ist, so bestimme man ein Primideal zweiter Art
derart, daß
ist; dann ist nach Hilfssatz 44 auch
. Bedeutet
eine Primärzahl von
und
eine solche Potenz von
, daß
wird, so ist nach dem soeben Bewiesenen
,
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und da auf Grund des Hilfssatzes 47 auch
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ausfällt, so folgt weiter
;
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(180)
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der Hilfssatz 48 gilt also auch dann, wenn
eine Primärzahl eines beliebigen Primideals erster Art ist. Aus (175), (179), (180) folgt die allgemeine Gültigkeit des Hilfssatzes 48.