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und daraus folgt, wie im Beweise des Hilfssatzes 45, daß für jedes Ideal in das Produkt der beiden Charaktere gleich sein muß. Wegen wird in weiter zerlegbar; ein jeder Primfaktor von besitzt als seine beiden Charaktere

, .

Da der erste Charakter nach Voraussetzung gleich ist, so würde nach dem eben Bewiesenen auch folgen, was nach (173) nicht zutrifft. Dadurch ist unsere Annahme widerlegt.

Hilfssatz 47. Wenn ein Primideal zweiter Art und ein Primideal erster Art ist, so folgt stets .

Beweis. Wir verfahren genau wie im Beweise des Hilfssatzes 45, indem wir statt des Primideals nunmehr das Primideal einsetzen und demgemäß im Verlauf des Beweises behufs Ableitung der (172) entsprechenden Beziehung statt des Hilfssatzes 44 den Hilfssatz 46 heranziehen.

§ 169. Ein Hilfssatz über das Produkt worin alle von verschiedenen Primideale durchläuft.

Wir sind nunmehr imstande, den folgenden Hilfssatz abzuleiten:

Hilfssatz 48. Wenn , zu prime ganze Zahlen sind und überdies der -ten Potenz einer ganzen Zahl in nach kongruent wird, so ist stets

,

wo das Produkt über alle von verschiedenen Primideale in erstreckt werden soll.

Beweis. Unter der über gemachten Voraussetzung können wir offenbar gleich einem Produkt aus lauter Primärzahlen von Primidealen, dividiert durch die -te Potenz einer ganzen Zahl in , setzen. Ist insbesondere gleich einer Primärzahl eines Primideals zweiter Art, so folgt alsdann die Richtigkeit der Behauptung sofort aus den Hilfssätzen 45 und 47, d. h. es ist unter der über gemachten Voraussetzung stets

(175)

Nunmehr betrachten wir den Kummerschen Körper . Wenn die Anzahl der Charaktere bezeichnet, die das Geschlecht einer Klasse in diesem Körper bestimmen, so gibt es nach Hilfssatz 35 (S. 312) höchstens Geschlechter in diesem Körper. Sind nun , …, irgend solche -te