wo
irgendeine von
verschiedene
-te Einheitswurzel bedeutet. Diese Gleichungen (164) ergeben sofort
, ,
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(165)
|
;
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(166)
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aus der ersten von den Gleichungen (165) folgt nach dem zuvor Bewiesenen
, und in gleicher Weise liefern die weiteren Gleichungen (165) die Beziehungen
,
, …; durch Multiplikation wird hieraus
, was wegen Satz 140 (S. 231) der Gleichung (166) widerspricht.
Unsere augenblicklich behandelte Annahme über die Exponenten
,
, …,
ist daher unzutreffend, d. h. diese Exponenten, wie sie oben bestimmt wurden, müssen sämtlich durch
teilbar sein, und
ist mithin gleich der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
; hieraus ergibt sich, daß
kongruent der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
ausfällt, womit der Hilfssatz 43 bewiesen ist.
§ 168. Beweis des Reziprozitätsgesetzes für die Fälle, daß eines der beiden Primideale von der zweiten Art ist.
Wir gelangen jetzt schrittweise, wie folgt, zu einzelnen Teilen des Reziprozitätsgesetzes für
-te Potenzreste:
Hilfssatz 44. Es sei
ein Primideal zweiter Art und
ein Primideal erster oder zweiter Art in
: wenn dann
ist, so wird auch
.
Beweis. Es seien
,
Primärzahlen der Primideale
bez.
. Mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) besitzt die Relativdiskriminante des Körpers
nach Satz 148 (S. 251) nur den einen Primfaktor
, und daher gehören wegen des Hilfssatzes 35 (S. 312) in diesem Körper alle Ideale dem Hauptgeschlechte an. Wegen
ist
im Körper
das Produkt von
Primidealen; für den Charakter irgendeines dieser Primideale erhalten wir den Wert
,
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und damit ist der Hilfssatz 44 bewiesen.
Hilfssatz 45. Wenn
,
irgend zwei Primideale zweiter Art in
sind, so ist stets
.
Beweis. Im Falle
folgt die Richtigkeit der Behauptung unmittelbar aus Hilfssatz 44. Wir betrachten nunmehr den Fall
. Es