wo irgendeine von verschiedene -te Einheitswurzel bedeutet. Diese Gleichungen (164) ergeben sofort
, ,
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(165)
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;
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(166)
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aus der ersten von den Gleichungen (165) folgt nach dem zuvor Bewiesenen , und in gleicher Weise liefern die weiteren Gleichungen (165) die Beziehungen , , …; durch Multiplikation wird hieraus , was wegen Satz 140 (S. 231) der Gleichung (166) widerspricht.
Unsere augenblicklich behandelte Annahme über die Exponenten , , …, ist daher unzutreffend, d. h. diese Exponenten, wie sie oben bestimmt wurden, müssen sämtlich durch teilbar sein, und ist mithin gleich der -ten Potenz einer ganzen Zahl in ; hieraus ergibt sich, daß kongruent der -ten Potenz einer ganzen Zahl in nach ausfällt, womit der Hilfssatz 43 bewiesen ist.
§ 168. Beweis des Reziprozitätsgesetzes für die Fälle, daß eines der beiden Primideale von der zweiten Art ist.
Wir gelangen jetzt schrittweise, wie folgt, zu einzelnen Teilen des Reziprozitätsgesetzes für -te Potenzreste:
Hilfssatz 44. Es sei ein Primideal zweiter Art und ein Primideal erster oder zweiter Art in : wenn dann ist, so wird auch .
Beweis. Es seien , Primärzahlen der Primideale bez. . Mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) besitzt die Relativdiskriminante des Körpers nach Satz 148 (S. 251) nur den einen Primfaktor , und daher gehören wegen des Hilfssatzes 35 (S. 312) in diesem Körper alle Ideale dem Hauptgeschlechte an. Wegen ist im Körper das Produkt von Primidealen; für den Charakter irgendeines dieser Primideale erhalten wir den Wert
,
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und damit ist der Hilfssatz 44 bewiesen.
Hilfssatz 45. Wenn , irgend zwei Primideale zweiter Art in sind, so ist stets .
Beweis. Im Falle folgt die Richtigkeit der Behauptung unmittelbar aus Hilfssatz 44. Wir betrachten nunmehr den Fall . Es