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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

$e_{1}$, $e'_{2}$, $e''_{3}$, …, $e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ gerade aus. Wäre nun

$e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}\geqq l-1$,

so würde nach Satz 156 $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ die $l$-te Potenz einer Einheit $\eta$ in $k(\zeta )$ sein. Drücken wir dann $\eta$ durch die Einheiten $\zeta$, $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ aus in der Gestalt

$\eta =\zeta ^{u}\varepsilon _{1}^{u_{1}}{\varepsilon '_{2}}^{u_{2}}\cdots \left(\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}\right)^{u_{l^{*}}}$,

wo $u$, $u_{1}$, $u_{2}$, …, $u_{l^{*}}$ ganze rationale Exponenten sind, und erheben diese Gleichung in die $l$-te Potenz, so erhalten wir eine Relation zwischen den $l^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ mit Exponenten, die nicht sämtlich Null sind; dies widerspricht der Tatsache, daß $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ ein System von Grundeinheiten in $k(\zeta )$ bilden. Es ist daher

$e_{l^{*}}^{(l-1)}<l-1$.

Hieraus folgt mit Rücksicht auf die Ungleichungen (162), daß notwendigerweise

$e_{1}=2$, $e'_{2}=4$, $e''_{3}=6$, …, $e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}=l-3$

sein muß, und diese Tatsache läßt unmittelbar auf das Vorhandensein von solchen Einheiten ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ schließen, die von der im Satze 155 (S. 286) verlangten Beschaffenheit sind.

Der Satz 157 (S. 288) folgt wie in § 142 aus Satz 155.

§ 167. Beweis einer Eigenschaft für die Primärzahlen von Primidealen der zweiten Art.

Wir legen die in § 131 (S. 264) gegebene Definition des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ für ein Primideal ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ zugrunde, sehen jedoch vorläufig von einer Definition des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ ab; wir benutzen dementsprechend die Sätze 150 (S. 257), 151 (S. 272) ebenfalls nur für ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$. Die Sätze 158 (S.  295), 159 (S. 302) folgen dann unmittelbar in der dort dargelegten Weise für den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, sobald wir die einschränkende Annahme machen, daß die Relativdiskriminante von $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim sei. Unter derselben Einschränkung gelangen wir ohne Gebrauch des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ zu dem Begriff des Charakters eines Ideals in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, zu der Einteilung der Idealklassen eines Kummerschen Körpers in Geschlechter, sowie zu der Gültigkeit der Hilfssätze 33 (S. 308), 34 (S. 310), 35 (S. 312) und beweisen dann zunächst folgenden Hilfssatz:

Hilfssatz 43. Eine jede Primärzahl $\varkappa$ eines Primideals ${\mathfrak {q}}$ der zweiten Art ist der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 337. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/354&oldid=- (Version vom 9.9.2019)