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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

$b_{1}$, …, $b_{l^{*}}$ derart, daß die Kongruenzen

${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&\equiv a_{1}+b_{1}\lambda ^{e_{1}},&({\mathfrak {l}}^{e_{1}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon _{l^{*}}&\equiv a_{l^{*}}+b_{l^{*}}\lambda ^{e_{l^{*}}},&({\mathfrak {l}}^{e_{l^{*}}+1})\end{aligned}}$

gültig sind. Wir nehmen an, es habe unter den Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$ etwa $e_{1}$ den niedrigsten vorkommenden Wert. Dann können wir, wie leicht ersichtlich ist, die $l^{*}-1$ Einheiten $\varepsilon _{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ derart mit Potenzen von $\varepsilon _{1}$ multiplizieren, daß für die $l^{*}-1$ entstehenden Produkte $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon '_{l^{*}}$ die Kongruenzen

${\begin{aligned}\varepsilon '_{2}=\varepsilon _{2}\varepsilon _{1}^{f_{2}}\equiv &a'_{2}+b'_{2}\lambda ^{e'_{2}},&({\mathfrak {l}}^{e'_{2}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon '_{l^{*}}=\varepsilon _{l^{*}}\varepsilon _{1}^{f_{l^{*}}}\equiv &a'_{l^{*}}+b'_{l^{*}}\lambda ^{e'_{l^{*}}},&({\mathfrak {l}}^{e'_{l^{*}}+1})\end{aligned}}$

bestehen, wo $a'_{2}$, …, $a'_{l^{*}}$, $b'_{2}$,…, $b'_{l^{*}}$ ganze rationale, zu $l$ prime Zahlen bedeuten, und wo nun die Exponenten $e'_{2}$, …, $e'_{l^{*}}$ sämtlich größer als $e_{1}$ sind. Die Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, $\varepsilon '_{3}$, …, $\varepsilon '_{l^{*}}$ bilden wiederum ein System von Grundeinheiten in $k(\zeta )$. Nun möge unter den Exponenten $e'_{2}$, …, $e'_{l^{*}}$ etwa $e'_{2}$ den niedrigsten vorkommenden Wert haben; dann ist es weiter möglich, die Einheiten $\varepsilon '_{3}$, …, $\varepsilon '_{l^{*}}$ derart mit Potenzen von $\varepsilon '_{2}$ zu multiplizieren, daß für die $l^{*}-2$ entstehenden Produkte $\varepsilon ''_{3}$, …, $\varepsilon ''_{l^{*}}$ die Kongruenzen

${\begin{aligned}\varepsilon ''_{3}=\varepsilon '_{3}{\varepsilon '_{2}}^{f'_{3}}\equiv &a''_{3}+b''_{3}\lambda ^{e''_{3}},&({\mathfrak {l}}^{e''_{3}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon ''_{l^{*}}=\varepsilon '_{l^{*}}{\varepsilon '_{2}}^{f'_{l^{*}}}\equiv &a''_{l^{*}}+b''_{l^{*}}\lambda ^{e''_{l^{*}}},&({\mathfrak {l}}^{e''_{l^{*}}+1})\end{aligned}}$

gelten, wo $a''_{3}$, …, $a''_{l^{*}}$, $b''_{3}$, …, $b'_{l^{*}}$ ganze rationale, zu $l$ prime Zahlen bedeuten und nunmehr die Exponenten $e''_{3}$, …, $e''_{l^{*}}$ sämtlich größer als $e'_{2}$ sind. Die Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, $\varepsilon ''_{3}$, $\varepsilon ''_{4}$, …, $\varepsilon ''_{l^{*}}$ bilden offenbar wiederum ein System von Grundeinheiten in $k(\zeta )$. Indem wir in geeigneter Weise fortfahren, gelangen wir zu einem System von Grundeinheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ in $k(\zeta )$, die den Kongruenzen

${\begin{aligned}\varepsilon _{1}&\equiv a_{1}&&+b_{1}\lambda ^{e_{1}},&&({\mathfrak {l}}^{e_{1}+1}),\\\varepsilon '_{2}&\equiv a'_{2}&&+b'_{2}\lambda ^{e'_{2}},&&({\mathfrak {l}}^{e'_{2}+1}),\\\varepsilon ''_{3}&\equiv a''_{3}&&+b''_{3}\lambda ^{e''_{3}},&&({\mathfrak {l}}^{e''_{3}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}&\equiv a_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}&&+b_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}\lambda ^{e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}},&&({\mathfrak {l}}^{e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}+1})\end{aligned}}$

genügen, wo $a_{1}$, …, $a_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$, $b_{1}$, …, $b_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ ganze rationale, zu $l$ prime Zahlen sind, während für die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ die Kette von Ungleichungen

$e_{1}<e'_{2}<e''_{3}<\cdots <e_{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$

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gilt. Da die betrachteten Einheiten sämtlich reell sind, so fallen die Exponenten

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 336. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/353&oldid=- (Version vom 9.9.2019)