Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/327

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Nach Satz 153 wäre dann aber auch ein Hauptideal in , und dies ist gegen die Annahme .

Ist nun eine beliebige Klasse in und sind diejenigen Klassen in , welche Ideale in enthalten, so nenne ich das System der Klassen einen Komplex. Der Komplex, welcher aus den Klassen besteht, heiße der Hauptkomplex und werde mit bezeichnet. Die Klassen eines beliebigen Komplexes gehören offenbar sämtlich zu dem nämlichen Geschlecht; ich bezeichne dieses Geschlecht als das Geschlecht des Komplexes .

Wenn eine Klasse eines Komplexes ambig ist, so sind sämtliche Klassen dieses Komplexes ambig; den Komplex nenne ich dann einen ambigen Komplex.

Wenn und zwei ambige Komplexe sind und jede Klasse in mit jeder Klasse in multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum einen Komplex; dieser werde das Produkt der Komplexe genannt und mit bezeichnet. Wenn eine Klasse in ist, so werde derjenige Komplex, zu welchem die relativ konjugierte Klasse gehört, mit bezeichnet; ferner nenne ich denjenigen Komplex , der nach der Multiplikation mit den Komplex ergibt, die symbolische -te Potenz des Komplexes und bezeichne ihn mit .

Wenn insbesondere die symbolische -te Potenz eines Komplexes den Hauptkomplex liefert, so ist ein ambiger Komplex. In der Tat, wenn eine Klasse in ist, so folgt aus offenbar , wo eine der Idealklassen ist. Bilden wir auf beiden Seiten der letzten Gleichung die Relativnorm, so erhalten wir , und da andererseits auch ist, so folgt , d. h. ; mithin ist eine ambige Klasse und daher ein ambiger Komplex.

§ 153. Obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in einem regulären Kummerschen Körper.

Hilfssatz 34. Wenn und die Bedeutung wie in Satz 159 haben und die Anzahl der Geschlechter des regulären Kummerschen Körpers bezeichnet, so fällt stets aus.

Beweis. Wenn die Anzahl der Geschlechter in dem Kummerschen Körper ist, so zerfallen, wie man unmittelbar aus der Definition des Geschlechtes eines Komplexes ersieht, auch die Komplexe genau in Geschlechter. Bezeichnen wir daher mit die Anzahl der Komplexe vom Hauptgeschlecht, so ist die Anzahl, aller überhaupt vorhandenen Komplexe, welche heiße, genau .