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eine Relation von der Gestalt

, (141)

so daß die Exponenten ganze rationale, nicht sämtlich durch teilbare Zahlen sind und eine geeignete Einheit in vorstellt; dann müßte für stets

ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten sämtlich Relativnormen von Zahlen in sind und daher stets für und sein muß, so ergibt sich auch

für . Wegen der Formeln (140) für die Einheiten , ist dies nur möglich, wenn die Exponenten , sämtlich durch teilbar sind, und die Relation (141) würde somit die Gestalt

annehmen, wo wiederum eine Einheit in bedeutet. Das Bestehen einer solchen Relation ist aber, da die Basis einer Einheitenschar in bilden, nur möglich, falls die Exponenten sämtlich durch teilbar sind. Daraus folgt, daß eine Relation von der Gestalt (141), wie wir sie annahmen, nicht statthaben kann, d. h. die Einheiten bilden eine Basis einer Einheitenschar; es ist der Grad dieser Einheitenschar , und da der Grad einer Einheitenschar höchstens sein kann, so haben wir ; hiermit deckt sich die Aussage des Hilfssatzes 33. Da ist, so folgt insbesondere, daß stets , also ausfällt.

§ 152. Die Komplexe des regulären Kummerschen Körpers.

Es sei die Anzahl der Idealklassen des regulären Kreiskörpers : dann gibt es in dem Kummerschen Körper genau voneinander verschiedene Idealklassen, welche unter ihren Idealen Ideale des Kreiskörpers enthalten. In der Tat, jede Klasse in liefert offenbar eine Klasse in von der fraglichen Art; würden nun zwei verschiedene Klassen in Ideale enthalten, die in einander äquivalent sind, so würde ein Ideal in aus der Klasse stets zu einem Hauptideal im Körper werden müssen.