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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

Auf diese Weise ist überhaupt einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zuzuordnen. Wir rechnen, ähnlich wie es in § 66 für den quadratischen Körper geschehen ist, alle diejenigen Idealklassen, welche ein und dasselbe Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter Einheiten $1$ besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört insbesondere die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht. Aus der ersten Formel in (80) und in (83) auf S. 265 und S. 266 entnehmen wir leicht die folgenden Tatsachen: Wenn $G$ und $G'$ zwei beliebige Geschlechter sind und jede Klasse in $G$ mit jeder Klasse in $G'$ multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum ein Geschlecht; dieses werde das Produkt der Geschlechter $G$ und $G'$ genannt. Das Charakterensystem desselben erhalten wir durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere der beiden Geschlechter $G$ und $G'$.

Aus der eben aufgestellten Definition der Geschlechter leuchtet ferner ein, daß die zu einer Klasse $C$ relativ konjugierten Klassen $SC,\dotsc ,S^{l-1}C$ zu demselben Geschlechte wie $C$ selbst gehören, und hieraus folgt, daß die $(1-S)$-te symbolische Potenz $C^{1-S}$ einer jeden Klasse $C$ stets zum Hauptgeschlecht gehört. Endlich ist offenbar, daß jedes Geschlecht des Kummerschen Körpers gleichviel Klassen enthält.

§ 151. Obere Grenze für den Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar.

Es entsteht, entsprechend wie in der Theorie des quadratischen Körpers, die wichtige Frage, ob ein System von $r$ beliebig vorgelegten $l$-ten Einheitswurzeln stets das Charakterensystem für ein Geschlecht des Kummerschen Körpers sein kann. Diese Frage findet erst in Kapitel 34 ihre vollständige Erledigung. In diesem und in den nächsten Paragraphen werden lediglich einige für das Spätere notwendige Hilfssätze bewiesen.

Hilfssatz 33. Wenn $t$ und $n$ die Bedeutung wie in Satz 159 haben und $r$ die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Klasse des Kummerschen Körpers bestimmen, so ist stets

$t+n-{\frac {l-1}{2}}\leqq r-1$.

Beweis. Es seien $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}}$, diejenigen besonderen $r^{*}$ Einheiten des Körpers $k(\zeta )$, welche in § 149 eingeführt worden sind. Es ist dann $r=t-r^{*}$. Ferner mögen $\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ eine Basis für diejenige Einheitenschar in $k(\zeta )$ bilden, welche aus allen Einheiten in $k(\zeta )$ besteht, die Relativnormen von Zahlen in $K$ sind. Wir nehmen nun an, es gäbe zwischen den $r^{*}+n$ Einheiten

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 308. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/325&oldid=- (Version vom 4.6.2018)