Körpers in Geschlechter entspricht. Wir bezeichnen die verschiedenen in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehenden Primideale des Körpers
, deren Anzahl
sei, mit
. Zu einer beliebigen ganzen Zahl
in
gehören dann bestimmte Werte der
einzelnen Symbole
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(139)
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diese Symbole bedeuten
-te Einheitswurzeln gemäß ihrer Definition in § 131. Diese
Einheitswurzeln (139) sollen das Charakterensystem der Zahl
im Kummerschen Körper
heißen. Um auch einem jeden Ideal
des Kummerschen Körpers
in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm
. Ferner bezeichnen wir mit
die Anzahl der Idealklassen in
und bestimmen eine ganze rationale positive Zahl
derart, daß
nach
wird. Dann ist
sicher ein Hauptideal in
; wir setzen
, wo
eine ganze Zahl in
sein soll. Nunmehr verstehen wir unter
eine Einheit in
. Haben dann für jede beliebige Einheit
alle
Symbole
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durchweg den Wert
, so setzen wir
und bezeichnen die
Einheitswurzeln
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als das Charakterensystem des Ideals
; dasselbe ist dann durch das Ideal
völlig eindeutig bestimmt.
Es sei andererseits eine spezielle Einheit
in
vorhanden, für welche wenigstens eines der
Symbole
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von
verschieden ausfällt; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa
. Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten
in
, für welche
wird. Es sei unter diesen weiter eine solche Einheit
vorhanden, für welche wenigstens eines der
Symbole
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von
verschieden ausfällt; dann können wir annehmen, es sei etwa
. Wir betrachten nunmehr alle diejenigen Einheiten
, für welche sowohl
als auch
wird, und sehen nach, ob unter diesen