Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/323

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Körpers in Geschlechter entspricht. Wir bezeichnen die verschiedenen in der Relativdiskriminante des Körpers aufgehenden Primideale des Körpers , deren Anzahl sei, mit . Zu einer beliebigen ganzen Zahl in gehören dann bestimmte Werte der einzelnen Symbole

(139)

diese Symbole bedeuten -te Einheitswurzeln gemäß ihrer Definition in § 131. Diese Einheitswurzeln (139) sollen das Charakterensystem der Zahl im Kummerschen Körper heißen. Um auch einem jeden Ideal des Kummerschen Körpers in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm . Ferner bezeichnen wir mit die Anzahl der Idealklassen in und bestimmen eine ganze rationale positive Zahl derart, daß nach wird. Dann ist sicher ein Hauptideal in ; wir setzen , wo eine ganze Zahl in sein soll. Nunmehr verstehen wir unter eine Einheit in . Haben dann für jede beliebige Einheit alle Symbole

durchweg den Wert , so setzen wir und bezeichnen die Einheitswurzeln

als das Charakterensystem des Ideals ; dasselbe ist dann durch das Ideal völlig eindeutig bestimmt.

Es sei andererseits eine spezielle Einheit in vorhanden, für welche wenigstens eines der Symbole

von verschieden ausfällt; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa . Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten in , für welche wird. Es sei unter diesen weiter eine solche Einheit vorhanden, für welche wenigstens eines der Symbole

von verschieden ausfällt; dann können wir annehmen, es sei etwa . Wir betrachten nunmehr alle diejenigen Einheiten , für welche sowohl als auch wird, und sehen nach, ob unter diesen