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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

zwei einander gleich oder relativ konjugiert sind, und wo $G'_{1}(S),\dotsc ,G'_{r'}(S)$ ganzzahlige Funktionen vom $(l-1)$-ten Grade in $S$ sind. Wegen $N_{k}({\mathsf {A}}')=\vartheta '$ folgt

$\left({\mathfrak {P'_{1}}}^{G'_{1}(S)}\cdots {\mathfrak {P'}}_{r'}^{G'_{r'}(S)}\right)^{1+S+\cdots +S^{l-1}}=1$,

und hieraus entnehmen wir leicht, daß die Funktionen $G'_{1}(S),\dotsc ,G'_{r'}(S)$ sämtlich durch $1-S$ teilbar sein müssen. Setzen wir

$G'_{1}(S)=(1-S){G'_{1}}^{*}(S),\dotsc ,G'_{r'}(S)=(1-S){G'_{r'}}^{*}(S)$

und

${\mathfrak {P'}}_{1}^{{G'_{1}}^{*}(S)}\cdots {\mathfrak {P'}}_{r'}^{{G'_{r'}}^{*}(S)}={\mathfrak {A}}'\alpha '$

so daß ${\mathfrak {A}}'$ ein Ideal in $K$ und $\alpha '$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k(\zeta )$ ist, so wird ${\mathsf {A}}'={\mathfrak {A}}'{1-S}$. Das Ideal ${\mathfrak {A}}'$ bestimmt daher eine ambige Klasse $A'$. Diese Klasse ist nicht in der Gestalt $A'=A^{a}Lc$ darstellbar, wo $A^{a}$ eine Potenz der Klasse $A$, $L$ eine Klasse mit einem ambigen Ideal und $c$ eine Klasse mit Idealen in $k(\zeta )$ bedeutet. In der Tat, eine solche Darstellung der Klasse $A'$ hätte für das Ideal ${\mathfrak {A}}'$ eine Darstellung ${\mathfrak {A}}'=\Gamma {\mathfrak {A}}^{a}{\mathfrak {Lj}}$ zur Folge, wo $\Gamma$ eine Zahl in $K$, ferner ${\mathfrak {L}}$ ein ambiges Ideal und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ bedeuten soll; dann aber wäre ${\mathfrak {A}}'^{1-S}=\Gamma ^{1-S}{\mathfrak {A}}^{a(1-S)}=\Gamma ^{1-S}{\mathsf {A}}^{a}$, d. h ${\mathsf {A}}'={\mathsf {H}}\Gamma ^{1-S}{\mathsf {A}}^{a}$, wo ${\mathsf {H}}$ eine Einheit in $K$ ist. Durch Bildung der Relativnorm ergäbe sich nunmehr $N_{k}({\mathsf {A}}')=\vartheta '=\vartheta ^{a}N_{k}({\mathsf {H}})$, und das Vorhandensein einer solchen Relation haben wir oben ausgeschlossen.

Bei der gegenwärtigen Annahme $n=m+2$ muß jede Einheit $\vartheta ''$ in $k(\zeta )$, welche die Relativnorm einer Zahl in $K$ ist, in der Gestalt $\vartheta ''=\vartheta '^{a'}\vartheta ^{a}\eta$ darstellbar sein, so daß $a'$, $a$ ganze rationale Exponenten sind und $\eta$ die Relativnorm einer Einheit in $K$ bedeutet. Indem wir diesen Umstand berücksichtigen, können wir durch ähnliche Überlegungen, wie im vorigen Falle $n=m+1$, zeigen, daß überhaupt jede vorhandene ambige Klasse $A''$ in der Gestalt $A'^{a'}A^{a}Lc$ sich darstellen läßt, wo $A'$, $A$ die eben bestimmten ambigen Klassen sind und $L$ eine Klasse mit ambigem Ideal, $c$ eine Klasse mit Idealen in $k(\zeta )$ ist. Daraus geht dann hervor, daß der Grad der aus allen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar genau $t+m+2-{\frac {l+1}{2}}$ beträgt, wie es der Satz 159 für den Fall $n=m+2$ aussagt.

Durch Fortsetzung der eingeleiteten Schlußweise erhalten wir den vollständigen Beweis des Satzes 159.

§ 149. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im regulären Kummerschen Körper.

Es handelt sich nun darum, diejenige Einteilung der Idealklassen eines aus dem regulären Kreiskörper $k(\zeta )$ entspringenden Kummerschen Körpers $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ zu erörtern, welche der Einteilung der Klassen eines quadratischen

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 305. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/322&oldid=- (Version vom 4.6.2018)