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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

bestehen kann von der Art, daß $e'_{1}$, …, $e'_{\frac {l-3}{2}}$, $e'_{\frac {l+1}{2}}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Exponenten sind und $\eta '$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. In der Tat, würde eine solche Relation (138) gelten, so hätten wir in

${\mathsf {H}}'={\mathsf {H}}_{1}^{e'_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}}\left({\sqrt[{l}]{\varepsilon }}\right)^{e'_{\frac {l+1}{2}}}\eta '^{-1}$

eine Einheit mit der Relativnorm $1$. Wir setzen unter Benutzung des Satzes 90 ${\mathsf {H}}'=\Lambda '^{1-S}$, wo $\Lambda '$ eine geeignete ganze Zahl in $K$ bedeutet, und bestimmen dann einen solchen ganzen rationalen positiven Exponenten $r$, daß in $\Lambda '\Lambda ^{r}$ das Primideal ${\mathfrak {L}}$ zu einem durch $l$ teilbaren Exponenten vorkommt. Nun mehr können wir mit Rücksicht auf Satz 153 $\Lambda '\Lambda ^{r}=\Theta '\alpha '$ setzen in solcher Weise, daß $\Theta '$ eine Einheit in $K$ und $\alpha '$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet; dann wird $\Theta '^{1-S}={\mathsf {H}}'{\mathsf {H}}^{r}$, d. h. die Einheit

${\mathsf {H}}_{1}^{e'_{1}+re_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-3}{2}}^{e'_{\frac {l-3}{2}}+re_{\frac {l-3}{2}}}{\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{re_{\frac {l-1}{2}}}\left({\sqrt[{l}]{\varepsilon }}\right)^{e'_{\frac {l+1}{2}}+re_{\frac {l+1}{2}}}\eta '^{-1}\eta ^{-r}$

wäre die symbolische $(1-S)$-te Potenz einer Einheit in $K$, und diese Folgerung steht mit der Definition der relativen Grundeinheiten aus dem schon mehrfach erörterten Grunde in Widerspruch. Damit ist gezeigt, daß eine Relation wie (138) nicht statthaben kann; mit Rücksicht auf (136) und auf den Umstand, daß $e_{\frac {l-1}{2}}$ zu $l$ prim ist, bilden nunmehr $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-3}{2}}$, $\varepsilon$ eine Basis der aus den Relativnormen aller Einheiten in $K$ gebildeten Einheitenschar; es folgt also, daß der Grad $m$ dieser Schar gleich ${\frac {l-1}{2}}$ ist und somit jede Einheit in $k(\zeta )$ die Relativnorm einer Einheit in $K$ ist. Es ist demnach

$t+m-{\frac {l+1}{2}}=0$

und damit der Satz 158 auch in diesem Falle bestätigt.

§ 148. Die sämtlichen ambigen Idealklassen.

Der Satz 158 hat eine merkwürdige Beziehung aufgedeckt, die zwischen der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar und derjenigen Einheitenschar stattfindet, die aus den Relativnormen sämtlicher Einheiten in $K$ gebildet wird. Eine ebenso wichtige Beziehung herrscht zwischen der aus allen ambigen Klassen gebildeten Klassenschar und einer gewissen Einheitenschar in $k(\zeta )$. Wir sprechen folgenden Satz aus:

Satz 159. Es sei $t$ die Anzahl der Primideale, die in der Relativdiskriminante des regulären Kummerschen Körpers $K$ vom Relativgrade $l$ aufgehen; ferner mögen alle diejenigen Einheiten in $k(\zeta )$, welche gleich Relativnormen sei es von Einheiten, sei es von gebrochenen Zahlen des Körpers $K$ sind, eine Einheitenschar

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 302. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/319&oldid=- (Version vom 21.3.2017)