nach Satz 90 (S. 149)
und
setzen, wobei
und
ganze Zahlen in
bedeuten. Bestimmen wir dann zunächst, wie im vorigen Falle, eine ganze rationale positive Zahl
derart, daß
den Faktor
zu einem durch
teilbaren Exponenten erhoben enthält, so kommt, wie die dortigen Überlegungen zeigen, in
mindestens eines der ambigen Primideale
, …,
zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent nicht durch
teilbar ist; es treffe dies etwa für
zu. Wir bestimmen dann zwei ganze rationale positive Zahlen
und
so, daß die Zahl
die beiden Faktoren
und
zu Exponenten erhoben enthält, die durch
teilbar sind. Alsdann können in dieser Zahl
die Faktoren
, …,
nicht sämtlich zu solchen Potenzen erhoben vorkommen, deren Exponenten durch
teilbar sind. Denn wäre dies der Fall, so könnten wir unter Benutzung von Satz 153
setzen, so daß
eine Einheit in
und
eine ganze Zahl in
ist. Berücksichtigen wir dann die Gleichungen
,
,
, so wäre
;
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wegen (134) würde hieraus folgen:
,
|
(135)
|
wo
eine gewisse Einheit in
bedeutet; diese Relation widerspräche aber der Definition der relativen Grundeinheiten nach § 55; denn da jede der beiden Zahlen
,
zu
prim ist, so sind die Exponenten von
,
in (135) sicher niemals beide zugleich durch
teilbar. Kommt nun in
etwa
zu einem nicht durch
teilbaren Exponenten erhoben vor, so entnehmen wir aus diesem Umstande, daß die Klasse
sich als Produkt von Potenzen der Klassen
, …,
und einer solchen Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers
enthält.
Durch die entsprechenden Überlegungen wie im vorigen Falle
kann man nun unter der gegenwärtigen Annahme
beweisen, daß aus den Idealklassen
, …,
keine Klasse
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hervorgehen kann, welche Ideale in
enthält, während die Exponenten
, …,
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Zahlen sind. Wir ersehen dann, daß bei der gegenwärtigen Annahme
, …,
eine Basis der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar bilden; der Grad dieser Klassenschar beträgt folglich
, wie es dem Satz 158 entspricht.