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wo die durch (129) festgelegte Einheit in und wieder eine Einheit in bedeutet; durch Bildung der Relativnorm erhalten wir , d. h. ist eine -te Einheitswurzel, etwa gleich . Alsdann wird, wenn wir die Gleichungen

, , 

berücksichtigen,

,

d. h. der Ausdruck stellt eine Zahl in dar. Beachten wir, daß , , , …, in Primideale sind, so schließen wir daraus zunächst, daß durch teilbar sein muß; sodann ersehen wir, da nach Voraussetzung das Ideal zu einer Potenz erhoben enthält, deren Exponent nicht durch teilbar ist, dagegen in der Zahl wegen (131) das Ideal sicher zu einem durch teilbaren Exponenten erhoben vorkommt, daß notwendigerweise auch durch teilbar sein muß, und endlich müßten dann, da zu prim ist, die Exponenten , …, sämtlich durch teilbar sein, was unserer Voraussetzung über dieselben widerspricht. Damit ist gezeigt, daß zwischen den Klassen , …, eine Relation wie (130) nicht bestehen kann, d. h. die Klassen , …, bilden unter der gegenwärtigen Annahme für die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar eine Basis; der Grad dieser Klassenschar ist daher gleich , wie es unserem Satz 158 entspricht.

Wenn wir drittens annehmen, so besteht zwischen den Einheiten , …, nicht nur, wie im vorigen Falle, eine Relation von der Gestalt , wo eine Einheit in und einer der Exponenten , …, , etwa wieder , nicht durch teilbar ist, sondern es besteht alsdann noch eine zweite Relation von der Gestalt , wo wieder eine Einheit in ist, und wo einer der Exponenten , …, , etwa , nicht durch teilbar ist. Wir bilden die Einheiten

(134)

Da die Relativnormen der Einheiten und gleich sind, so können wir

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 299. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/316&oldid=- (Version vom 19.2.2017)