wo
die durch (129) festgelegte Einheit in
und
wieder eine Einheit in
bedeutet; durch Bildung der Relativnorm erhalten wir
, d. h.
ist eine
-te Einheitswurzel, etwa gleich
. Alsdann wird, wenn wir die Gleichungen
, ,
|
|
berücksichtigen,
,
|
|
d. h. der Ausdruck
stellt eine Zahl in
dar. Beachten wir, daß
,
,
, …,
in
Primideale sind, so schließen wir daraus zunächst, daß
durch
teilbar sein muß; sodann ersehen wir, da
nach Voraussetzung das Ideal
zu einer Potenz erhoben enthält, deren Exponent nicht durch
teilbar ist, dagegen in der Zahl
wegen (131) das Ideal
sicher zu einem durch
teilbaren Exponenten erhoben vorkommt, daß notwendigerweise auch
durch
teilbar sein muß, und endlich müßten dann, da
zu
prim ist, die Exponenten
, …,
sämtlich durch
teilbar sein, was unserer Voraussetzung über dieselben widerspricht. Damit ist gezeigt, daß zwischen den Klassen
, …,
eine Relation wie (130) nicht bestehen kann, d. h. die Klassen
, …,
bilden unter der gegenwärtigen Annahme
für die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar eine Basis; der Grad dieser Klassenschar ist daher gleich
, wie es unserem Satz 158 entspricht.
Wenn wir drittens
annehmen, so besteht zwischen den Einheiten
, …,
nicht nur, wie im vorigen Falle, eine Relation von der Gestalt
, wo
eine Einheit in
und einer der Exponenten
, …,
, etwa wieder
, nicht durch
teilbar ist, sondern es besteht alsdann noch eine zweite Relation von der Gestalt
, wo
wieder eine Einheit in
ist, und wo einer der Exponenten
, …,
, etwa
, nicht durch
teilbar ist. Wir bilden die Einheiten
|
(134)
|
Da die Relativnormen der Einheiten
und
gleich
sind, so können wir