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(127) das Ideal nicht oder zu einem durch teilbaren Exponenten erhoben enthält, dagegen das Ideal in einer Potenz enthält, deren Exponent nicht durch teilbar ist, so zeigt die Zerlegung dieser Zahl in Primideale des Körpers erstens, daß durch teilbar sein muß; dann zeigt sie weiter, da zu prim ist, daß die Exponenten , …, sämtlich durch teilbar sein müßten, was der Voraussetzung widerspricht. Daraus folgt, daß zwischen den Klassen , …, eine Relation wie (126) nicht bestehen kann, d. h. die Klassen , …, bilden unter der gegenwärtigen Annahme, die wesentlich auf hinauskommt, für die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar eine Basis; der Grad dieser Klassenschar ist daher gleich , wie es unserem Satze 158 für entspricht.

Wir nehmen zweitens an; dann muß zwischen den Einheiten , …, eine Relation von der Gestalt bestehen, wo die Exponenten , …, ganze rationale, nicht sämtlich durch teilbare Zahlen sind und eine Einheit in bedeutet. Ist etwa nicht durch teilbar, so sind, wie man aus Hilfssatz 32 schließt, notwendig , …, eine Basis der aus den Relativnormen aller Einheiten in gebildeten Einheitenschar. Wir bilden die Einheit

. (129)

Da diese die Relativnorm besitzt, so gibt es nach Satz 90 (S. 149) eine ganze Zahl in von der Beschaffenheit, daß wird. Wir bestimmen nun, was jedenfalls möglich ist, eine ganze rationale positive Zahl in der Weise, daß in dem Produkt das Primideal zu einem durch teilbaren Exponenten erhoben vorkommt. Es dürfen dann in nicht auch die Faktoren , …, sämtlich in solchen Potenzen, deren Exponenten durch teilbar sind, vorkommen, da man sonst unter Benutzung von Satz 153 (S. 279) hätte in der Art, daß eine Einheit in und eine ganze Zahl in bedeutet; dann aber würde folgen, und dies widerspräche mit Rücksicht auf (129), da zu prim ist, der Definition der relativen Grundeinheiten , …, nach § 55. Es komme nun in etwa das ambige Primideal zu einem nicht durch teilbaren Exponenten erhoben vor. Dann entnehmen wir aus diesem Umstande die Tatsache, daß

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 297. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/314&oldid=- (Version vom 29.1.2017)