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Wir beweisen jetzt, daß aus den Idealklassen , …, allein keine Klasse von der Gestalt

(126)

hervorgehen kann, welche Ideale des Körpers enthält, während , …, ganze rationale, nicht sämtlich durch teilbare Exponenten sind. In der Tat, auf Grund der Relation (126) würden wir eine Gleichung

(127)

aufstellen können, so daß ein Ideal des Körpers und eine ganze Zahl des Körpers ist; hieraus schließen wir dann, daß eine Einheit in sein müßte. Auf diese Einheit wenden wir den Hilfssatz 31 an und erhalten so eine Gleichung von der Gestalt

, (128)

wo eine ganze rationale, nicht durch teilbare Zahl, , …, ganzzahlige Funktionen von und eine Einheit in bedeuten. Da offenbar ist, so ergibt sich durch Bildung der Relativnorm auf beiden Seiten von (128) die Gleichung

.

Da , …, eine Basis einer Einheitenschar bilden sollen, so müssen die ganzen rationalen Zahlen , …, sämtlich durch und demnach die ganzen Zahlen , …, sämtlich durch teilbar sein. Setzen wir

und

,

so wird

,

wo wieder eine Einheit in bedeutet. Durch Bildung der Relativnorm folgt aus letzterer Gleichung , d. h. ist eine -te Einheitswurzel, etwa . Berücksichtigen wir , so haben wir

,

d. h. der Ausdruck stellt eine Zahl in dar. Da nun wegen

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 296. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/313&oldid=- (Version vom 29.1.2017)