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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

Wir beweisen jetzt, daß aus den Idealklassen $L_{1}$, …, $L_{t-1}$ allein keine Klasse von der Gestalt

$c'=L_{1}^{a'_{1}}\cdots L_{t-1}^{a'_{t-1}}$

(126)

hervorgehen kann, welche Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält, während $a'_{1}$, …, $a'_{t-1}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Exponenten sind. In der Tat, auf Grund der Relation (126) würden wir eine Gleichung

${\mathsf {M}}'={\mathfrak {L}}_{1}^{a'_{1}}\cdots {\mathfrak {L}}_{t-1}^{a'_{t-1}}{\mathfrak {j}}'$

(127)

aufstellen können, so daß ${\mathfrak {j}}'$ ein Ideal des Körpers $k(\zeta )$ und ${\mathsf {M}}'$ eine ganze Zahl des Körpers $K$ ist; hieraus schließen wir dann, daß ${\mathsf {E}}={\mathsf {M}}'^{1-S}$ eine Einheit in $K$ sein müßte. Auf diese Einheit $E$ wenden wir den Hilfssatz 31 an und erhalten so eine Gleichung von der Gestalt

${\mathsf {E}}^{f}={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{F_{\frac {l-1}{2}}(S)}\varepsilon$,

(128)

wo $f$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl, $F_{1}(S)$, …, $F_{\frac {l-1}{2}}(S)$ ganzzahlige Funktionen von $S$ und $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeuten. Da offenbar $N_{k}({\mathsf {E}})=1$ ist, so ergibt sich durch Bildung der Relativnorm auf beiden Seiten von (128) die Gleichung

$1=\eta ^{F_{1}(1)}\cdots \eta _{\frac {l-1}{2}}^{F_{\frac {l-1}{2}}(1)}\varepsilon ^{l}$.

Da $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-1}{2}}$ eine Basis einer Einheitenschar bilden sollen, so müssen die ganzen rationalen Zahlen $F_{1}(1)$, …, $F_{\frac {l-1}{2}}(1)$ sämtlich durch $l$ und demnach die ganzen Zahlen $F_{1}(\zeta )$, …, $F_{\frac {l-1}{2}}(\zeta )$ sämtlich durch $1-\zeta$ teilbar sein. Setzen wir

$F_{1}(\zeta )=(1-\zeta )F_{1}^{*}(\zeta ),\ldots ,F_{\frac {l-1}{2}}(\zeta )=(1-\zeta )F_{\frac {l-1}{2}}^{*}(\zeta )$

und

${\mathsf {H}}={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}^{*}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}}^{F_{\frac {l-1}{2}}^{*}(S)}$,

so wird

${\mathsf {E}}^{f}={\mathsf {H}}^{1-S}\varepsilon ^{*}$,

wo $\varepsilon ^{*}$ wieder eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Durch Bildung der Relativnorm folgt aus letzterer Gleichung $1=\varepsilon ^{*l}$, d. h. $\varepsilon ^{*}$ ist eine $l$-te Einheitswurzel, etwa $=\zeta ^{g}$. Berücksichtigen wir ${\mathsf {M}}^{1-S}=\zeta ^{-1}$, so haben wir

$\left\{{{\mathsf {M}}'}^{f}{\mathsf {M}}^{g}{\mathsf {H}}^{-1}\right\}^{1-S}=1$,

d. h. der Ausdruck ${\mathsf {M'}}^{f}{\mathsf {M}}^{g}{\mathsf {H}}^{-1}$ stellt eine Zahl in $k(\zeta )$ dar. Da nun $M'$ wegen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 296. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/313&oldid=- (Version vom 29.1.2017)