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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

Klassen zu gelangen, vor allem die aus den ambigen Idealen entspringende Klassenschar zu untersuchen. Wir beweisen die wichtige Tatsache:

Satz 158. Es sei $t$ die Anzahl der verschiedenen Primideale, welche in der Relativdiskriminante des regulären Kummerschen Zahlkörpers $K=k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta \right)$ vom Relativgrade $l$ aufgehen; ferner mögen die Relativnormen aller Einheiten von $K$ für $k(\zeta )$ eine Einheitenschar vom Grade $m$ bilden: betrachten wir dann alle diejenigen Klassen, in welchen sei es ambige Ideale des Körpers $K$, sei es Produkte von ambigen Idealen in $K$ mit Idealen in $k(\zeta )$ vorkommen, so bilden diese eine Klassenschar vom Grade

$t+m-{\frac {l+1}{2}}$.

Beweis. Wir setzen im folgenden zunächst voraus, daß die Zahl $\mu$ nicht von der Gestalt $\varepsilon \alpha ^{l}$ sei, wo $\varepsilon$ eine Einheit und $\alpha$ eine Zahl in $k(\zeta )$ bedeuten soll. Es ist dann jede Einheit $[\varepsilon ]$ des Körpers $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, deren $l$-te Potenz in $k(\zeta )$ liegt, notwendig selbst in $k(\zeta )$ gelegen. Nunmehr mögen ${\mathsf {H}}_{1}$, …, $H_{\frac {l-1}{2}}$ ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$ in bezug auf $k(\zeta )$ und

$\eta _{1}=N_{k}({\mathsf {H}}_{1}),\ldots ,\eta _{\frac {l-1}{2}}=N_{k}({\mathsf {H}}_{\frac {l-1}{2}})$

deren Relativnormen bedeuten.

Wir nehmen erstens an, daß der äußerste Fall $m={\frac {l-1}{2}}$ eintritt. Aus Hilfssatz 32 schließen wir dann, daß die Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {l-1}{2}}$ eine Basis derjenigen Einheitenschar bilden, welche aus den Relativnormen aller Einheiten in $K$ besteht. Andererseits fassen wir die $t$ ambigen Primideale ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{t}$ des Körpers $K$ ins Auge; dieselben bestimmen $t$ ambige Idealklassen, die wir bez. $L_{1}$, …, $L_{t}$ nennen wollen. Um für die aus diesen Klassen entspringende Klassenschar den Grad zu bestimmen, setzen wir

${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}={\mathfrak {L}}_{1}^{a_{1}}\cdots {\mathfrak {L}}_{t}^{a_{t}}{\mathfrak {j}}$,

(125)

wo $a_{1}$, …, $a_{t}$ gewisse ganze rationale Exponenten bedeuten, und wo ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k(\zeta )$ ist. Wegen der zu Anfang getroffenen Voraussetzung über $\mu$ ist wenigstens einer der Exponenten $a_{1}$, …, $a_{t}$ nicht durch $l$ teilbar; es sei etwa $a_{t}$ prim zu $l$. Wir entnehmen aus der Gleichung (125), daß

$c=L_{1}^{a_{1}}\cdots L_{t}^{a_{t}}$

eine solche Klasse ist, die Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält; da $L_{t}^{l}$ ebenfalls eine Klasse dieser Art ist, so folgt hieraus sofort, daß die Klasse $L_{t}$ sich als Produkt von Potenzen der Klassen $L_{1}$, …, $L_{t-1}$ und einer Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthält.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 295. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/312&oldid=- (Version vom 29.1.2017)