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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

Dadurch erhalten wir einen Widerspruch mit unserer Annahme, wonach die zugrunde gelegte Relation (122) bereits eine solche war, in der $G(\zeta )$ eine möglichst niedrige Potenz von $1-\zeta$ enthielt; wir sehen also, daß unter dieser Voraussetzung in (122) $G(\zeta )$ nicht durch $1-\zeta$ teilbar sein kann.

Setzen wir

$f=G(\zeta )G(\zeta ^{2})\cdots G(\zeta ^{l-1})$,

so wird $f$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl, und es gibt offenbar zwei ganzzahlige Funktionen $H(S)$, $M(S)$, so daß die Gleichung

$f=H(S)G(S)+M(S)(1+S+S^{2}+\cdots +S^{l-1})$

identisch in $S$ erfüllt ist. Erheben wir (122) in die $H(S)$-te symbolische Potenz, so folgt daraus sofort eine Formel von der im Hilfssatz 31 verlangten Beschaffenheit.

Hilfssatz 32. Es mögen dieselben Bezeichnungen wie in Hilfssatz 31 gelten, und überdies bilden wir die Relativnormen der $r+1$ relativen Grundeinheiten des relativ-zyklischen Körpers $K$, nämlich

$\eta _{1}=N_{k}({\mathsf {H}}_{1}),\ldots ,\eta _{r+1}=N_{k}({\mathsf {H}}_{r+1}):$

dann läßt sich jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche die Relativnorm einer Einheit ${\mathsf {E}}$ des Körpers $K$ ist, in der Gestalt

$\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{r+1}^{u_{r+1}}[\varepsilon ]^{l}$

darstellen, wo $u_{1}$, …, $u_{r+1}$ ganze rationale Exponenten sind und $[\varepsilon ]$ eine Einheit in $K$ ist.

Beweis. Nach Hilfssatz 31 haben wir für ${\mathsf {E}}$ eine Gleichung

${\mathsf {E}}^{f}={\mathsf {H}}_{1}^{F_{1}(S)}\cdots {\mathsf {H}}_{r+1}^{F_{r+1}(S)}[\varepsilon ]$,

wo die Zeichen die dort angegebene Bedeutung besitzen. Indem wir von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm in bezug auf $k$ bilden, ergibt sich

$\varepsilon ^{f}=\eta _{1}^{F_{1}(1)}\cdots \eta _{r+1}^{F_{r+1}(1)}[\varepsilon ]^{l}$.

(124)

Bestimmen wir nun zwei ganze rationale Zahlen $a$, $b$, so daß

$1=af+bl$

wird, und erheben dann die Gleichung (124) in die $a$-te Potenz, so entsteht eine Formel von der im Hilfssatz 32 behaupteten Art.

§ 147. Die durch ambige Ideale bestimmten Idealklassen.

Es sei $K=k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ ein regulärer Kummerscher Körper; wir nehmen aus seiner Relativgruppe die Substitution $S=\left({\sqrt[{l}]{\mu }}:\zeta {\sqrt[{l}]{\mu }}\right)$. Da ein beliebiges ambiges Ideal ${\mathfrak {A}}$ des Körpers $K$ vermöge seiner Eigenschaft ${\mathfrak {A}}=S{\mathfrak {A}}$ stets eine ambige Klasse bestimmt, so haben wir, um zur Kenntnis der ambigen

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 294. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/311&oldid=- (Version vom 29.1.2017)