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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

wieder dem Systeme angehört. Ein solches System $E$ nenne ich eine Einheitenschar des Kreiskörpers $k(\zeta )$. Man kann in einer jeden Einheitenschar $E$ stets eine gewisse Anzahl $m$ von Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{m}$ bestimmen von der Art, daß man jede Einheit der Einheitenschar und jede nur einmal erhält, wenn man in dem Ausdruck

$\varepsilon _{1}^{u_{1}}\varepsilon _{2}^{u_{2}}\cdots \varepsilon _{m}^{u_{m}}\xi ^{l}$

einem jeden der Exponenten $u_{1}$, …, $u_{m}$ unabhängig von den übrigen alle Werte $0$, $1$, …, $l-1$ erteilt und für $\xi$ eine jede Einheit in $k(\zeta )$ einsetzt. Ein System von Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{m}$ dieser Beschaffenheit nenne ich eine Basis der Einheitenschar $E$. Es ist klar, daß für die Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{m}$ einer Basis von $E$ niemals eine Relation von der Gestalt

$\varepsilon _{1}^{e_{1}}\cdots \varepsilon _{m}^{e_{m}}=\varepsilon ^{l}$

stattfinden kann, wo $e_{1}$, …, $e_{m}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Exponenten sind und $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Es läßt sich leicht zeigen, daß für eine jede andere Basis der Einheitenschar $E$ die Anzahl $m$ der Einheiten, aus denen sie besteht, die gleiche sein muß. Diese Zahl $m$ ist daher für die Einheitenschar $E$ eine vollkommen bestimmte; sie heiße der Grad der Einheitenschar.

Enthält insbesondere eine Einheitenschar nur die $l$-ten Potenzen der Einheiten in $k(\zeta )$, so ist sie die möglichst wenig Einheiten umfassende Einheitenschar, und ihr Grad $0$. Ferner bildet die Gesamtheit aller Einheiten des Körpers $k(\zeta )$ eine Einheitenschar; aus dem Umstande, daß nach Satz 127 jede Einheit in $k(\zeta )$ das Produkt einer $l$-ten Einheitswurzel und einer reellen Einheit ist, und aus den Entwicklungen beim Beweise des Satzes 157 entnehmen wir sofort, daß die in § 140 mit ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {l-3}{2}}$ bezeichneten Einheiten mit der Einheitswurzel $\zeta$ zusammen eine Basis dieser umfassendsten Einheitenschar sind. Die aus allen Einheiten des Körpers $k(\zeta )$ bestehende Einheitenschar besitzt folglich den Grad $m={\frac {l-1}{2}}$; sie ist offenbar die einzige Einheitenschar vom Grade ${\frac {l-1}{2}}$, und es kann überhaupt keine Einheitenschar von höherem als dem ${\frac {l-1}{2}}$-ten Grade geben.

Wie man ferner leicht erkennt, bilden die Relativnormen aller Einheiten eines aus $k(\zeta )$ entspringenden Kummerschen Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ für den Kreiskörper $k(\zeta )$ eine Einheitenschar; endlich ist auch die Gesamtheit aller derjenigen Einheiten in $k(\zeta )$ eine Einheitenschar, welche gleich Relativnormen, sei es von Einheiten, sei es von gebrochenen Zahlen des Kummerschen Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ sind.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 290. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/307&oldid=- (Version vom 29.1.2017)