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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

Hilfssatz 30. Wenn $\nu ,\ \mu$ zwei primäre Zahlen des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$ sind, so ist stets

$\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1.$

Beweis. Wir dürfen annehmen, daß die Zahlen $\nu ,\ \mu$ beide $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfallen, da sonst ihre $(l-1)$-ten Potenzen sicher dieser Bedingung genügen und wir mit Rücksicht auf $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ^{l-1},\ \mu ^{l-1}}{\mathfrak {l}}}\right\}$ (vgl. S. 266) diese an Stelle der Zahlen $\nu ,\ \mu$ selbst betrachten können. Nach (83) ist

$\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\ \mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\},$

und da bei unserer Annahme $\mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{l-1}$ und $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ausfällt, so folgt aus der allgemeinen Definition (82) des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ in § 131 unmittelbar $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1,$ und daher wird

$\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1.$

Entsprechend beweisen wir, daß

$\left\{{\frac {\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {s^{\frac {l-1}{2}}\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$

ist. Aus Formel (84) ergibt sich ferner:

$\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {s^{\frac {l-1}{2}}\nu ,\ s^{\frac {l-1}{2}}\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1.$

Die drei letzten Gleichungen zusammengenommen liefern:

$\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}^{2}=1,\quad {\text{d. h.}}\quad \left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1,$

und damit ist der Hilfssatz 30 bewiesen.

32. Die ambigen Idealklassen und die Geschlechter im regulären Kummerschen Körper.

§ 143. Der Begriff der Einheitenschar im regulären Kreiskörper.

Es sei $l$ eine reguläre ungerade Primzahl, und in dem durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten regulären Kreiskörper $k(\zeta )$ sei ein solches System $E$ von Einheiten vorgelegt, in welchem die $l$-ten Potenzen aller Einheiten des Körpers $k(\zeta )$ enthalten sind, und welchem überdies die Eigenschaft zukommt, daß das Produkt und der Quotient von irgend zwei Einheiten des Systems stets

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 289. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/306&oldid=- (Version vom 19.12.2016)