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§ 141. Eine charakteristische Eigenschaft für die Einheiten eines regulären Kreiskörpers.

Satz 156. Wenn eine reguläre Primzahl bedeutet und im Körper der -ten Einheitswurzeln eine solche Einheit vorliegt, welche einer ganzen rationalen Zahl nach kongruent ist, so ist sie notwendig die -te Potenz einer Einheit dieses Kreiskörpers [Kummer (8[1])].

Beweis. Wir denken uns ein System von Einheiten , …, gemäß Satz 155 bestimmt; da dieselben ein System unabhängiger Einheiten bilden, so gibt es ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Exponenten , , …, , so daß

(121)

wird, und wir können, wie sich sofort zeigt, noch annehmen, daß , , …, nicht sämtlich durch teilbar sind. Wäre dann durch teilbar, so hätte die Gleichung (121) die Gestalt (119), und daß eine Gleichung von dieser Gestalt nicht statthaben kann, haben wir bereits erkannt. Wäre andererseits nicht durch teilbar, so würde jedenfalls nach und also nach sein; wir bilden dann für beide Seiten der Gleichung (121) die logarithmischen Differentialquotienten der zu ihnen gehörenden Funktionen. Da wegen nach die Zahlen für sämtlich kongruent nach sind, so folgt, wenn wir dies insbesondere für in Anwendung bringen und die Werte der Zahlen , …, in Rücksicht auf (110) einsetzen, der Reihe nach , …, nach ; es wird dann also , wo eine gewisse Einheit des Kreiskörpers bedeutet, während nach Voraussetzung eine nicht durch teilbare ganze rationale Zahl ist. Bestimmen wir nun zwei ganze rationale Zahlen und , so daß wird, so folgt

,

und hiermit ist der Beweis des Satzes 156 vollständig erbracht.

Ein wesentlich hiervon verschiedener Beweis des Satzes 156 beruht auf folgender Überlegung. Wäre nicht die -te Potenz einer Einheit in , so könnte auch die Einheit nicht die -te Potenz einer Einheit sein, wie leicht aus dem Umstande ersichtlich ist, daß und zwei ganzzahlige Funktionen von sind, die im Sinne der Kongruenz nach keinen gemeinsamen Faktor haben. Nun wird aber, wenn wir kongruent einer ganzen rationalen Zahl nach annehmen, nach , und hieraus würde nach dem zweiten Teile von Satz 148 folgen, daß der Kummersche Körper die Relativdiskriminante in bezug auf besitzt. Da ferner dieser Kummersche Körper relativ-Abelsch vom Relativgrade in bezug auf ist, so würde endlich aus Satz 94 folgen, daß die Anzahl der Idealklassen des Kreiskörpers durch teilbar sein müßte, was der Annahme, daß ein regulärer Kreiskörper ist, widerspräche.


  1. [359] Zwei besondere Untersuchungen über die Klassenanzahl und über die Einheiten der aus -ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen. J. Math. 40 (1850).[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Zwei besondere Untersuchungen über die Classen-Anzahl und über die Einheiten der aus -ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40 (1850), S. 117–129 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 287. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/304&oldid=- (Version vom 22.12.2016)