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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

§ 140. Ein besonderes System von unabhängigen Einheiten im regulären Kreiskörper.

Wir haben in § 139 die Mittel zur Aufstellung eines Systems von Einheiten des regulären Kreiskörpers gewonnen, welches für die weiteren Entwicklungen von Nutzen sein wird.

Satz 155. Ist $l$ eine reguläre Primzahl, so gibt es im Kreiskörper der $l$-ten Einheitswurzeln stets ein System von $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ unabhängigen Einheiten ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ von der Art, daß für dieselben die Kongruenzen

${\begin{aligned}{\bar {\varepsilon }}_{1}&\equiv 1+\lambda ^{2},&({\mathfrak {l}}^{3}),\\{\bar {\varepsilon }}_{2}&\equiv 1+\lambda ^{4},&({\mathfrak {l}}^{5}),\\&\,\vdots \\{\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}&\equiv 1+\lambda ^{l-3},&({\mathfrak {l}}^{l-2})\end{aligned}}$

erfüllt sind; dabei ist $\lambda =1-\zeta$, ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt.

Beweis. Da der Kreiskörper $k(\zeta )$ regulär sein soll, so sind in Anbetracht von Satz 154 die Zähler der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen sämtlich zu $l$ prim, und folglich gibt es nach Hilfssatz 29 $l^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$, welche die in (107) ausgedrückten Kongruenzeigenschaften besitzen. Da dort die Koeffizienten $a_{1}$, …, $a_{l^{*}}$ sämtlich zu $l$ prim sind, so können wir $l^{*}$ ganze rationale Zahlen $b_{1}$, …, $b_{l^{*}}$, bestimmen derart, daß

$a_{1}b_{1}\equiv 1,\ldots ,a_{l^{*}}b_{l^{*}}\equiv 1$, $(l)$

wird. Setzen wir dann

${\bar {\varepsilon }}_{1}=\varepsilon _{1}^{b_{1}},\ldots ,{\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}=\varepsilon _{l^{*}}^{b_{l^{*}}}$,

so erfüllen diese Einheiten ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ jedenfalls die in Satz 155 geforderten Kongruenzbedingungen.

Ferner bilden ${\bar {\varepsilon }}_{1}$, …, ${\bar {\varepsilon }}_{l^{*}}$ ein System voneinander unabhängiger Einheiten, weil die in § 138 bestimmten Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ ein solches waren. Um letzteres einzusehen, nehmen wir im Gegenteil an, daß eine Gleichung von der Gestalt

$\varepsilon _{1}^{e_{1}}\cdots \varepsilon _{l^{*}}^{e_{l^{*}}}=1$

(120)

bestehe, wo die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$ ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen sind; dann können wir weiter die Annahme machen, daß diese Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$, nicht sämtlich durch $l$ teilbar seien, da im entgegengesetzten Falle offenbar sofort

$\varepsilon _{1}^{\frac {e_{1}}{l}}\cdots \varepsilon _{l^{*}}^{\frac {e_{l^{*}}}{l}}=1$

folgen würde. Unter der Annahme, daß in (120) die Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$ nicht sämtlich durch $l$ teilbar sind, ist aber (120) von der Gestalt der Gleichung (119), und daß eine solche Gleichung unmöglich ist, haben wir bereits in § 139 erkannt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 286. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/303&oldid=- (Version vom 10.12.2016)