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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

Es sei $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{l^{*}}$ ein System von reellen $l^{*}$ Grundeinheiten des Körpers $k(\zeta )$, wie ein solches nach Satz 127 stets existiert; dann können wir setzen:

$s^{t}\varepsilon =\gamma _{1}^{m_{1}t}\gamma _{2}^{m_{2}t}\cdots \gamma _{l^{*}}^{m_{l^{*}}t}$

(113)

für $t=0,1,2,\ldots ,l^{*}-1$, wo die Exponenten $m_{1t}$, $m_{2t}$,…, $m_{l^{*}t}$ ganze rationale Zahlen sind und $\varepsilon$ die in Formel (108) definierte Kreiseinheit bedeutet. Aus (113) erhalten wir:

$\log |s^{t}\varepsilon |=m_{1t}\log |\gamma _{1}|+m_{2t}\log |\gamma _{2}|+\cdots +m_{l^{*}t}\log |\gamma _{l*}|$

(114)

für $t=0,1,2,\ldots ,l^{*}-1$, wo unter den Logarithmen deren reelle Werte verstanden werden sollen. Andererseits bringen die Definitionsgleichungen (109) der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ ein Gleichungssystem von der Gestalt

$\varepsilon _{t}=\varepsilon ^{n_{1t}}(s\varepsilon )^{n_{2t}}\cdots (s^{l^{*}-1}\varepsilon )^{n_{l^{*}}t}$,$(t=1,2,\ldots ,l^{*})$

(115)

mit sich. Von demselben gehen wir zu den Gleichungen

$\log \varepsilon _{t}=n_{1t}\log |\varepsilon |+n_{2t}\log |s\varepsilon |+\cdots +n_{l^{*}t}\log |s^{l^{*}-1}\varepsilon |$

(116)

$(t=1,2,\ldots ,l^{*})$

über, wo für die Logarithmen wieder die reellen Werte eintreten sollen, und vermöge (114) wird hieraus

$\log \varepsilon _{t}=M_{1t}\log |\gamma _{1}|+M_{2t}\log |\gamma _{2}|+\cdots +M_{l^{*}t}\log |\gamma _{l^{*}}|$,

(117)

$(t=1,2,\ldots ,l^{*})$

wo $M_{1t}$, $M_{2t}$, …, $M_{l^{*}t}$ die bekannten bilinearen Verbindungen der $2l^{*2}$ ganzen rationalen Zahlen $n_{11}$, $n_{21}$, …, $n_{l^{*}l^{*}}$; $m_{10}$, $m_{20}$, …, $m_{l^{*}l^{*}-1}$ bedeuten. Aus den Gleichungssystemen (113) und (115) entspringen jedesmal $l^{*}-1$ weitere Gleichungssysteme, wenn wir auf die darin vorkommenden Einheiten die Substitutionen $s$, $s^{2}$, …, $s^{l^{*}-1}$ anwenden. Indem wir dann wieder die betreffenden Logarithmen nehmen, erhalten wir diejenigen Gleichungssysteme, die aus den Gleichungssystemen (114), (116) und (117) hervorgehen, wenn man auf die darin vorkommenden Einheiten der Reihe nach durchgehends die Substitution $s$, bez. $s^{2}$, …, bez. $s^{l^{*}-1}$ anwendet.

Setzen wir nun

$\mathbf {R} ={\begin{vmatrix}\log |\gamma _{1}|,&\ldots ,&\log |\gamma _{l^{*}}|\\\log |s\gamma _{1}|,&\ldots ,&\log |s\gamma _{l^{*}}|\\\quad \vdots &\ddots &\quad \vdots \\\log |s^{l^{*}-1}\gamma _{1}|,&\ldots ,&\log |s^{l^{*}-1}\gamma _{l^{*}}|\end{vmatrix}}$, $\Delta ={\begin{vmatrix}\log |\varepsilon |,&\log |s\varepsilon |,&\ldots ,&\log |s^{l^{*}-1}\varepsilon |\\\log |s\varepsilon |,&\log |s^{2}\varepsilon |,&\ldots ,&\log |s^{l^{*}}\varepsilon |\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\log |s^{l^{*}-1}\varepsilon |,&\log |s^{l^{*}}\varepsilon |,&\ldots ,&\log |s^{2l^{*}-2}\varepsilon |\end{vmatrix}}$, ${\bar {\Delta }}={\begin{vmatrix}\log \varepsilon _{1},&\log \varepsilon _{2},&\ldots ,&\log \varepsilon _{l^{*}}\\\log s\varepsilon _{1},&\log s\varepsilon _{2},&\ldots ,&\log s\varepsilon _{l^{*}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\log s^{l^{*}-1}\varepsilon _{1},&\log s^{l^{*}-1}\varepsilon _{2},&\ldots ,&\log s^{l^{*}-1}\varepsilon _{l^{*}}\end{vmatrix}}$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 284. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/301&oldid=- (Version vom 10.12.2016)