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wo , , , … gewisse Konstanten bedeuten. Das ausführlich geschriebene Produkt in dem Koeffizienten von ist

,

und die hier zu differentiierende Funktion ist nach . Aus dieser Entwicklung folgt nun unmittelbar die Richtigkeit der Kongruenzen (110).

Da nach Voraussetzung die Zähler der ersten Bernoullischen Zahlen , …, nicht durch teilbar sein sollen, so sind nach (110) die Differentialquotienten für sämtlich der Null inkongruent nach . Aus dem letzteren Umstande schließen wir zunächst, daß keine der Einheiten , …, nach der Zahl kongruent ausfällt. Setzen wir daher

(112)

mit solchen Exponenten , …, , daß dabei , …, ganze rationale, nicht durch teilbare Zahlen bedeuten, so sind diese Exponenten , …, , sämtlich . Nun erhält man aus den Kongruenzen (112), da die Entwicklung eines Ausdruckes nach Potenzen von mit dem Gliede beginnt, für die Einheit die Kongruenzen

und da nicht durch teilbar sein soll, so ergibt sich mit Rücksicht auf die vorhin bemerkte Folgerung aus den Kongruenzen (110) , womit der Hilfssatz 29 bewiesen ist.

§ 139. Ein Kriterium für die regulären Primzahlen.

Der folgende Satz liefert ein einfaches Kriterium für die regulären Primzahlen :

Satz 154. Eine ungerade Primzahl ist dann und nur dann regulär, wenn sie in den Zählern der ersten Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht [Kummer (8[1])].

Beweis. Der Hilfssatz 28 zeigt, daß, wenn im Zähler wenigstens einer der ersten Bernoullischen Zahlen aufgeht, die Klassenanzahl des Körpers jedenfalls durch teilbar ist. Sind hingegen die Zähler der ersten Bernoullischen Zahlen sämtlich zu prim, so zeigt der nämliche Hilfssatz 28, daß der erste Faktor der Klassenanzahl zu prim ist. Es bedarf also nur noch des Nachweises, daß auch der zweite Faktor der Klassenanzahl nicht durch teilbar ist, wenn die Zähler der ersten Bernoullischen Zahlen sämtlich zu prim sind. Diesen Nachweis führen wir in folgender Weise:


  1. [359] Zwei besondere Untersuchungen über die Klassenanzahl und über die Einheiten der aus -ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen. J. Math. 40 (1850).[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Zwei besondere Untersuchungen über die Classen-Anzahl und über die Einheiten der aus -ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40 (1850), S. 117–129 GDZ Göttingen
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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 283. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/300&oldid=- (Version vom 10.12.2016)