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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

für $t=1,2,3,\ldots ,l^{*}$, wo $s=(\zeta :\zeta ^{r})$ im Exponenten symbolisch zu verstehen ist.

Die Einheit $\mu$ ist als $(l-1)$-te Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ notwendig $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, und das gleiche gilt dann auch von jeder der Einheiten $\varepsilon _{t}$. Wir denken uns nun allgemein bei jedem Werte $t$ die zur Einheit $\varepsilon _{t}$ gehörende Funktion $\varepsilon _{t}(x)$ gemäß § 131 gebildet; dann gelten für die rationalen Zahlen

$1^{(1)}(\varepsilon _{t})$, $1^{(2)}(\varepsilon _{t}),\ldots ,1^{(l-2)}(\varepsilon _{t})$,

d. h. für die Werte der ersten $l-2$ Differentialquotienten des Logarithmus von $\varepsilon _{t}(\mathrm {e} ^{v})$ an der Stelle $v=0$, die Kongruenzen:

$\left.{\begin{aligned}&1^{(u)}(\varepsilon _{t})\equiv 0,&(l)\\&(u=1,2,3,\ldots ,2t-1,2t+1,\ldots ,l-3,l-2),&\\&1^{(2t)}(\varepsilon _{t})\equiv (-1)^{t+1^{*}}{\frac {B_{t}}{4tr^{2t}}},&(l)\\&(t=1,2,\ldots ,l^{*}).\end{aligned}}\right\}$

(110)

Um dies zu beweisen, bedenken wir, daß nach den Formeln S. 266 oben bei der Berechnung der ersten $l-2$ Differentialquotienten

$1^{(1)}(\eta )$, $1^{(2)}(\eta ),\ldots ,1^{(l-2)}(\eta )$

in bezug auf die Zahl $\eta$ an Stelle der zu $\eta$ gehörenden Funktion direkt die folgende ganze Funktion

${\bar {\eta }}(x)=\left({\frac {(1-x^{r})(1-x^{-r})}{(1-x)(1-x^{-1})}}\right)^{\frac {l-1}{2}}$

genommen werden darf. Nun gilt bekanntlich die Entwicklung

$\log {\frac {\mathrm {e} ^{v}-1}{v}}=+{\frac {1}{2}}v+{\frac {B_{1}}{2\cdot 2!}}v^{2}-{\frac {B_{2}}{4\cdot 4!}}v^{4}+{\frac {B_{3}}{6\cdot 6!}}v^{6}-\cdots$,

wo $B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$, … die Bernoullischen Zahlen bedeuten. Mit Benutzung dieser unendlichen Reihe folgt

$\left.{\begin{aligned}\log {\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{v})=(l-1)&\left\{\log r+(r^{2}-1){\frac {B_{1}}{2\cdot 2!}}v^{2}\right.\\&\quad \left.-(r^{4}-1){\frac {B_{2}}{4\cdot 4!}}v^{4}+(r^{6}-1){\frac {B_{3}}{6\cdot 6!}}v^{6}-\cdots \right\}.\end{aligned}}\right\}$

(111)

Von derselben Verwendbarkeit wie ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{v})$ in bezug auf die Zahl $\eta$ ist die Funktion ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{rv})$ in bezug auf die Zahl $s\eta$, ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{r^{2}v})$ in bezug auf $s^{2}\eta$ usf. Ersetzen wir dann nach Entwicklung des Ausdrucks (109) von $\varepsilon _{t}$ darin $\eta$, $s\eta$, $s^{2}\eta$, … durch ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{v})$, ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{rv})$, ${\tilde {\eta }}(\mathrm {e} ^{r^{2}v})$, … so entsteht eine Funktion ${\tilde {\varepsilon }}_{t}(\mathrm {e} ^{v})$, welche nach den Ausführungen auf S. 266 bei Bildung von $1^{(1)}(\varepsilon _{t})$, $1^{(2)}(\varepsilon _{t})$, …, $1^{(l-2)}(\varepsilon _{t})$ die Stelle der Funktion $\varepsilon _{t}(\mathrm {e} ^{v})$ vertreten kann. Aus (111) ergibt sich

${\begin{aligned}\log {\tilde {\varepsilon }}_{t}(\mathrm {e} ^{v})=(l-1)&\left\{C+(-1)^{t}(r^{2}-r^{2t})(r^{4}-r^{2t})\cdots \right.\\&\quad \cdots (r^{2t-2}-r^{2t})(r^{2t+2}-r^{2t})(r^{2t+4}-r^{2t})\cdots \\&\quad \left.(r^{l-3}-r^{2t})(1-r^{2t}){\frac {B_{t}}{2t(2t)!}}v^{2t}\right\}\\&+C_{l-1}v^{l-1}+C_{l+1}v^{l+1}+\cdots ,\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 282. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/299&oldid=- (Version vom 22.12.2016)