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für , wo im Exponenten symbolisch zu verstehen ist.

Die Einheit ist als -te Potenz einer ganzen Zahl in notwendig nach , und das gleiche gilt dann auch von jeder der Einheiten . Wir denken uns nun allgemein bei jedem Werte die zur Einheit gehörende Funktion gemäß § 131 gebildet; dann gelten für die rationalen Zahlen

, ,

d. h. für die Werte der ersten Differentialquotienten des Logarithmus von an der Stelle , die Kongruenzen:

(110)

Um dies zu beweisen, bedenken wir, daß nach den Formeln S. 266 oben bei der Berechnung der ersten Differentialquotienten

, 

in bezug auf die Zahl an Stelle der zu gehörenden Funktion direkt die folgende ganze Funktion

genommen werden darf. Nun gilt bekanntlich die Entwicklung

,

wo , , , … die Bernoullischen Zahlen bedeuten. Mit Benutzung dieser unendlichen Reihe folgt

(111)

Von derselben Verwendbarkeit wie in bezug auf die Zahl ist die Funktion in bezug auf die Zahl , in bezug auf usf. Ersetzen wir dann nach Entwicklung des Ausdrucks (109) von darin , , , … durch , , , … so entsteht eine Funktion , welche nach den Ausführungen auf S. 266 bei Bildung von , , …, die Stelle der Funktion vertreten kann. Aus (111) ergibt sich

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 282. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/299&oldid=- (Version vom 22.12.2016)