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ist, so folgt, daß die Zahl dann und nur dann durch teilbar ist, wenn die Zahl

(106)

durch teilbar ist. Wegen der über die Primitivzahl gemachten Annahme ist nun der Ausdruck (106) für sicher nicht durch teilbar. Für gilt auf Grund der Bernoullischen Summenformel jedesmal die Kongruenz

, ,

wo die -te Bernoullische Zahl bedeutet, und somit erkennen wir, daß die Teilbarkeit wenigstens einer der Zahlen (106) für

durch mit der Teilbarkeit wenigstens eines der Zähler der ersten Bernoullischen Zahlen durch gleichbedeutend ist. Der Beweis des Hilfssatzes 28 ist dadurch erbracht.

§ 138. Ein Hilfssatz über die Einheiten des Kreiskörpers für den Fall, daß in den Zählern der ersten Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht.

Hilfssatz 29. Wenn eine ungerade Primzahl bedeutet, welche in den Zählern der ersten Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht, so läßt sich aus den Kreiseinheiten des Körpers der -ten Einheitswurzeln stets durch Bildung geeigneter Produkte und Quotienten ein System von solchen Einheiten , …, ableiten, für welche Kongruenzen von der Gestalt

(107)

gelten, wo , , …, , ganze rationale, durch nicht teilbare Zahlen bedeuten; dabei ist gesetzt [Kummer (12[1])].

Beweis. Wir gehen aus von der Kreiseinheit (vgl. § 98)

, (108)

wo eine Primitivzahl nach bezeichnet. Wir setzen dann und

(109)

  1. [359] Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 44 (1851), S. 93–146 GDZ Göttingen
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 281. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/298&oldid=- (Version vom 28.11.2016)