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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

ist, so folgt, daß die Zahl $g(r^{2t-1})$ dann und nur dann durch $l$ teilbar ist, wenn die Zahl

$(r^{2t}-1)(1^{2t}+2^{2t}+3^{2t}+\cdots +(l-1)^{2t})$

(106)

durch $l^{2}$ teilbar ist. Wegen der über die Primitivzahl $r$ gemachten Annahme ist nun der Ausdruck (106) für $t={\frac {l-1}{2}}$ sicher nicht durch $l^{2}$ teilbar. Für $t=1,2,\ldots ,{\frac {l-3}{2}}$ gilt auf Grund der Bernoullischen Summenformel jedesmal die Kongruenz

$1^{2t}+2^{2t}+3^{2t}+\cdots +(l-1)^{2t}\equiv (-1)^{t+1}B_{t}l$, $(l^{2})$,

wo $B_{t}$ die $t$-te Bernoullische Zahl bedeutet, und somit erkennen wir, daß die Teilbarkeit wenigstens einer der Zahlen (106) für

$t=1,2,\ldots ,{\frac {l-3}{2}}$

durch $l^{2}$ mit der Teilbarkeit wenigstens eines der Zähler der ${\frac {l-3}{2}}$ ersten Bernoullischen Zahlen durch $l$ gleichbedeutend ist. Der Beweis des Hilfssatzes 28 ist dadurch erbracht.

§ 138. Ein Hilfssatz über die Einheiten des Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ für den Fall, daß $l$ in den Zählern der ersten ${\frac {l-3}{2}}$ Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht.

Hilfssatz 29. Wenn $l$ eine ungerade Primzahl bedeutet, welche in den Zählern der ersten $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht, so läßt sich aus den Kreiseinheiten des Körpers $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln stets durch Bildung geeigneter Produkte und Quotienten ein System von solchen $l^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ ableiten, für welche $l^{*}$ Kongruenzen von der Gestalt

$\left.{\begin{aligned}\varepsilon _{1}&\equiv 1+a_{1}\lambda ^{2},&({\mathfrak {l}}^{3}),\\\varepsilon _{2}&\equiv 1+a_{2}\lambda ^{4},&({\mathfrak {l}}^{5}),\\\varepsilon _{3}&\equiv 1+a_{3}\lambda ^{6},&({\mathfrak {l}}^{7}),\\&\;\vdots \\\varepsilon _{l^{*}}&\equiv 1+a_{l^{*}}\lambda ^{l-3},&({\mathfrak {l}}^{l-2})\end{aligned}}\right\}$

(107)

gelten, wo $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l^{*}}$, ganze rationale, durch $l$ nicht teilbare Zahlen bedeuten; dabei ist $\lambda =1-\zeta ,{\mathfrak {l}}=(\lambda )$ gesetzt [Kummer (12^[1])].

Beweis. Wir gehen aus von der Kreiseinheit (vgl. § 98)

$\varepsilon ={\sqrt {\frac {(1-\zeta ^{r})(1-\zeta ^{-r})}{(1-\zeta )(1-\zeta ^{-1})}}}$,

(108)

wo $r$ eine Primitivzahl nach $l$ bezeichnet. Wir setzen dann $\eta =\varepsilon ^{l-1}$ und

$\varepsilon _{t}=\eta ^{(r^{2}-s)(r^{4}-s)(r^{6}-s)\cdots (r^{2t-2}-s)(r^{2t+2}-s)(r^{2t+4}-s)\cdots (r^{l-s}-s)}$

(109)

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1. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 44 (1851), S. 93–146 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 281. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/298&oldid=- (Version vom 28.11.2016)