ist, so folgt, daß die Zahl
dann und nur dann durch
teilbar ist, wenn die Zahl
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(106)
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durch
teilbar ist. Wegen der über die Primitivzahl
gemachten Annahme ist nun der Ausdruck (106) für
sicher nicht durch
teilbar. Für
gilt auf Grund der Bernoullischen Summenformel jedesmal die Kongruenz
, ,
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wo
die
-te Bernoullische Zahl bedeutet, und somit erkennen wir, daß die Teilbarkeit wenigstens einer der Zahlen (106) für
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durch
mit der Teilbarkeit wenigstens eines der Zähler der
ersten Bernoullischen Zahlen durch
gleichbedeutend ist. Der Beweis des Hilfssatzes 28 ist dadurch erbracht.
Hilfssatz 29. Wenn
eine ungerade Primzahl bedeutet, welche in den Zählern der ersten
Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht, so läßt sich aus den Kreiseinheiten des Körpers
der
-ten Einheitswurzeln stets durch Bildung geeigneter Produkte und Quotienten ein System von solchen
Einheiten
, …,
ableiten, für welche
Kongruenzen von der Gestalt
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(107)
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gelten, wo
,
, …,
, ganze rationale, durch
nicht teilbare Zahlen bedeuten; dabei ist
gesetzt [Kummer (12[1])].
Beweis. Wir gehen aus von der Kreiseinheit (vgl. § 98)
,
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(108)
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wo
eine Primitivzahl nach
bezeichnet. Wir setzen dann
und
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(109)
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- ↑ [359] Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).[WS 1]
Anmerkungen (Wikisource)