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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

bezeichnet. Wird ferner

$g(x)=q_{0}+q_{1}x+q_{2}x^{2}+\cdots +q_{l-2}x^{l-2}$

gesetzt, so ergibt sich leicht

$(r{\mathsf {Z}}-1)f({\mathsf {Z}})=l{\mathsf {Z}}\cdot g({\mathsf {Z}})$,

und da infolge der Wahl von $r$ das Produkt

$(r{\mathsf {Z}}-1)(r{\mathsf {Z}}^{3}-1)\cdots (r{\mathsf {Z}}^{l-2}-1)=(-1)^{\frac {l-1}{2}}\left(r^{\frac {l-1}{2}}+1\right)$

genau durch die erste Potenz von $l$ teilbar ist, so folgt, daß der Zähler (105) des ersten Faktors von $h$ nur dann durch $l^{\frac {l-1}{2}}=l^{l^{*}+1}$ teilbar ist, wenn die Zahl

$g({\mathsf {Z}})g({\mathsf {Z}}^{3})g({\mathsf {Z}}^{5})\cdots g({\mathsf {Z}}^{l-2})$

durch $l$ teilbar ist. Nun ist ${\mathfrak {L}}=(l,{\mathsf {Z}}-r)$ ein in $l$ aufgehendes Primideal des Körpers $k({\mathsf {Z}})$, und da offenbar ${\mathsf {Z}}\equiv r$ nach ${\mathfrak {L}}$ ausfällt, so ist

$g({\mathsf {Z}})g({\mathsf {Z}}^{3})\cdots g({\mathsf {Z}}^{l-2})\equiv g(r)g(r^{3})\cdots g(r^{l-2})$, $({\mathfrak {L}})$;

folglich ist der erste Faktor der Klassenanzahl $h$ nur dann durch $l$ teilbar, wenn mindestens eine der ${\frac {l-1}{2}}$ Kongruenzen

$g(r^{2t-1})=q_{0}+q_{1}r^{2t-1}+q_{2}r^{2(2t-1)}+\cdots +q_{l-2}r^{(l-2)(2t-1)}\equiv 0,$ $(l)$ $\left(t=1,2,3,\ldots ,{\frac {l-1}{2}}\right)$

erfüllt ist.

Es bedeute nun $t$ eine der Zahlen $1$, $2$, $3$, …, ${\frac {l-1}{2}}$. Erheben wir dann die Identität

$rr_{i}=r_{i+1}+(rr_{i}-r_{i+1})$

in die $(2t)$-te Potenz und bedenken, daß $rr_{i}-r_{i+1}$ durch $l$ teilbar ist, so ergibt sich die Kongruenz

$r^{2t}r_{i}^{2t}\equiv r_{i+1}^{2t}+2t(rr_{i}-r_{i+1})r_{i+1}^{2t-1}$, $(l^{2})$

oder

$2t(rr_{i}-r_{i+1})r_{i+1}^{2t-1}\equiv r^{2t}r_{i}^{2t}-r_{i+1}^{2t}$, $(l^{2})$

und da offenbar

$(rr_{i}-r_{i+1})r_{i+1}^{2t-1}\equiv (rr_{i}-r_{i+1})r^{(i+1)(2t-1)}$, $(l^{2})$

ist, so folgt

$2t(rr_{i}-r_{i+1})r^{(i+1)(2t-1)}\equiv r^{2t}r_{i}^{2t}-r_{i+1}^{2t}$, $(l^{2})$.

Diese allgemeine Kongruenz ergibt bei Summation über die Werte $i=0,1,2,\ldots ,l-2$

$2tlr^{2t-1}\sum _{(i)}q_{i}r^{i(2t-1)}\equiv r^{2t}\sum _{(i)}r_{i}^{2t}-\sum _{(i)}r_{i+1}^{2t}$, $(l^{2})$.

Da nun

$\sum _{(i)}r_{i}^{2t}=\sum _{(i)}r_{i+1}^{2t}=1^{2t}+2^{2t}+3^{2t}+\cdots +(l-1)^{2t}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 280. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/297&oldid=- (Version vom 28.11.2016)