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bezeichnet. Wird ferner

gesetzt, so ergibt sich leicht

,

und da infolge der Wahl von das Produkt

genau durch die erste Potenz von teilbar ist, so folgt, daß der Zähler (105) des ersten Faktors von nur dann durch teilbar ist, wenn die Zahl

durch teilbar ist. Nun ist ein in aufgehendes Primideal des Körpers , und da offenbar nach ausfällt, so ist

, ;

folglich ist der erste Faktor der Klassenanzahl nur dann durch teilbar, wenn mindestens eine der Kongruenzen

 

erfüllt ist.

Es bedeute nun eine der Zahlen , , , …, . Erheben wir dann die Identität

in die -te Potenz und bedenken, daß durch teilbar ist, so ergibt sich die Kongruenz

, 

oder

, 

und da offenbar

, 

ist, so folgt

, .

Diese allgemeine Kongruenz ergibt bei Summation über die Werte

, .

Da nun

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 280. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/297&oldid=- (Version vom 28.11.2016)