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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

gesetzt ist; außerdem ist in $S(\alpha _{\ast }^{m})$ für $\alpha _{\ast }^{m}$ der oben angegebene Ausdruck einzusetzen. Wenn wir nun in der ersten Summe rechter Hand in (102) von denjenigen Gliedern absehen – ihr Aggregat möge $G_{m}$ heißen –‚ die den in $\alpha _{1},\ \ldots ,\ \alpha _{t},\ \lambda$ aufgehenden Primidealen ${\mathfrak {p}}$ entsprechen und die nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, so hat der übrige unendliche Teil dieser Summe offenbar den Wert $\textstyle l^{t}\sum \limits _{({\mathfrak {q}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {q}})^{s}}}$, wo ${\mathfrak {q}}$ nur alle diejenigen unter den Primidealen ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k(\zeta )$ durchläuft, für welche die $t$ Bedingungen

$\left\{{\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{1},\ \ldots ,\ \left\{{\frac {\alpha _{t}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}=\gamma _{t}$

(103)

sämtlich erfüllt sind. Bilden wir nun die Gleichungen (102) nacheinander für $m=1,\ 2,\ \ldots ,\ l-1$ und summieren die entstehenden Formeln, so erhalten wir

$\left.{\begin{aligned}(l-&1)\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+(l-1)S\\&+\sum \limits _{(u_{1},\ldots ,u_{t})}\gamma _{1}^{-u_{1}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}\log \prod _{({\mathfrak {p}})}\prod _{(m)}{\frac {1}{1-\left\{{\frac {\alpha _{1}^{u_{1}}\cdots \alpha _{t}^{u_{t}}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{m}n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\\=&l^{t}\sum \limits _{({\mathfrak {r}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {r}})^{s}}}+\sum \limits _{(m)}G_{m}+(l-1)S+\sum \limits _{(u_{1},\ldots ,u_{t})}\gamma _{1}^{-u_{1}}\cdots \gamma _{t}^{-u_{t}}\sum \limits _{(m)}S(\alpha _{\ast }^{m});\end{aligned}}\right\}$

(104)

hierbei hat in dem ersten Summenausdruck rechter Hand ${\mathfrak {r}}$ alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ in $k(\zeta )$ zu durchlaufen, welche irgendeinem von den $l-1$ Bedingungssystemen genügen, die aus (103) entstehen, wenn man darin $m=1,\ 2,\ \ldots ,\ l-1$ einführt; für $\gamma _{l}=1$‚ …‚ $\gamma _{t}=1$ sind diese Bedingungssysteme identisch und die betreffenden Primideale $l-1$ mal zu nehmen. Gehen wir nun zur Grenze für $s=1$ über, so wird die erste Summe $\textstyle \sum$ linker Hand in (104) nach den Ausführungen zu Beginn des Beweises über alle Grenzen wachsen, und die zweite Summe $\textstyle \sum$ linker Hand bleibt auf Grund von Hilfssatz 27 für $s=1$ endlich. Da. auch die Summen $S$ und $S(\alpha _{\ast }^{m})$ sämtlich endlich bleiben, so folgt dann, daß der Ausdruck $\textstyle \sum {\frac {1}{n({\mathfrak {r}})^{s}}}$ für $s=1$ über alle Grenzen wächst, und also sind die betreffenden Primideale ${\mathfrak {r}}$ in unendlicher Anzahl vorhanden; diese Primideale ${\mathfrak {r}}$ erfüllen hinsichtlich ihrer Potenzcharaktere genau die Forderungen des Satzes 152.

31. Der reguläre Kreiskörper.

§ 136. Die Definition des regulären Kreiskörpers, der regulären Primzahl und des regulären Kummerschen Körpers.

Es bedeute $l$ eine ungerade Primzahl und $k(\zeta )$ den durch $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ bestimmten Kreiskörper: dieser Kreiskörper $k(\zeta )$ heiße ein regulärer Kreiskörper und die Primzahl $l$ eine reguläre Primzahl, wenn die Anzahl $h$ der

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 278. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/295&oldid=- (Version vom 31.7.2018)