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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

$\alpha \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, und es werde $\left\{{\frac {\alpha ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{a}$ gesetzt, wo $a$ eine Zahl aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ bedeuten soll; dann ist offenbar $\left\{{\frac {\alpha (1-l)^{a},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$; dagegen fällt jedesmal $\left\{{\frac {\alpha (1-l)^{x},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ aus, wenn $x$ eine von $a$ verschiedene Zahl aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ bedeutet. Wählen wir ferner eine ganze Zahl $\alpha '$ in $k(\zeta )$, welche ebenfalls kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}$, aber keiner der $l$ Zahlen $\alpha$, $\alpha (1-l)$, $\alpha (1-l)^{2}$, …, $\alpha (1-l)^{l-1}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent ist, so sind auch die $l$ Zahlen $\alpha '$, $\alpha ^{'}(1-l)$, $\alpha ^{'}(1-l)^{2}$, …, $\alpha ^{'}(1-l)^{l-1}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ sämtlich untereinander inkongruent und zugleich keiner der ersteren $l$ Zahlen kongruent; unter den letzteren $l$ Zahlen gibt es wegen (98) offenbar eine und nur eine Zahl – es sei dies etwa $\alpha '(1-l)^{a'}$ – von der Art, daß $\left\{{\frac {\alpha '(1-l)^{a'},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ ist. Fahren wir in dieser Weise fort, so erkennen wir, daß die Anzahl der vorhandenen nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ inkongruenten Zahlen $\nu$, die kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}$ sind und der Bedingung $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ genügen, genau gleich $l^{l-1}$ ist, und aus der Übereinstimmung dieser Anzahl mit der oben gefundenen für die Normemeste $\nu ^{*}$ ist ersichtlich, daß umgekehrt auch jede Zahl $\nu$ mit diesen zwei Eigenschaften Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist.

Durch die bisherigen Überlegungen ist der Satz 151 in allen Teilen bewiesen; für den Fall ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ allerdings nur soweit, als für die Zahlen $\nu ,\mu$ die Kongruenzeigenschaften $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ erfüllt sind. Die $\nu$ betreffende Einschränkung ist offenbar leicht aufzuheben.

Aus dem Satze 151 folgt, bei Benutzung der ersten Formel in (80) und (83), die Formel

$\left\{{\frac {\nu \nu ^{*},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$,

wo ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal in $k(\zeta )$ bedeutet und $\nu ^{*}$ ein Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ sein soll.

Um nun das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ auch für den Fall zu definieren, daß eine der beiden Zahlen $\nu ,\mu$ oder beide durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar sind, braucht man nur die allgemeine Gültigkeit der Formeln

$\left\{{\frac {\nu \nu ^{*},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$

festzusetzen, wobei $\nu ^{*}$ ein beliebiger Normenrest des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ bedeuten soll. Bei dieser Festsetzung folgt dann insbesondere

$\left\{{\frac {1+a\lambda ^{l},\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {1+a\lambda ^{l}}{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta$.

Wir können überhaupt die Definition des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ auf die Formeln

$\left\{{\frac {\alpha ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{\frac {n(\alpha )-1}{l}}$, $\left\{{\frac {\nu _{1}\nu _{2},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\nu ^{*},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 274. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/291&oldid=- (Version vom 28.11.2016)