nach
, und es werde
gesetzt, wo
eine Zahl aus der Reihe
,
,
, …,
bedeuten soll; dann ist offenbar
; dagegen fällt jedesmal
aus, wenn
eine von
verschiedene Zahl aus der Reihe
,
,
, …,
bedeutet. Wählen wir ferner eine ganze Zahl
in
, welche ebenfalls kongruent
nach
, aber keiner der
Zahlen
,
,
, …,
nach
kongruent ist, so sind auch die
Zahlen
,
,
, …,
nach
sämtlich untereinander inkongruent und zugleich keiner der ersteren
Zahlen kongruent; unter den letzteren
Zahlen gibt es wegen (98) offenbar eine und nur eine Zahl – es sei dies etwa
– von der Art, daß
ist. Fahren wir in dieser Weise fort, so erkennen wir, daß die Anzahl der vorhandenen nach
inkongruenten Zahlen
, die kongruent
nach
sind und der Bedingung
genügen, genau gleich
ist, und aus der Übereinstimmung dieser Anzahl mit der oben gefundenen für die Normemeste
ist ersichtlich, daß umgekehrt auch jede Zahl
mit diesen zwei Eigenschaften Normenrest des Körpers
nach
ist.
Durch die bisherigen Überlegungen ist der Satz 151 in allen Teilen bewiesen; für den Fall
allerdings nur soweit, als für die Zahlen
die Kongruenzeigenschaften
nach
und
nach
erfüllt sind. Die
betreffende Einschränkung ist offenbar leicht aufzuheben.
Aus dem Satze 151 folgt, bei Benutzung der ersten Formel in (80) und (83), die Formel
,
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wo
ein beliebiges Primideal in
bedeutet und
ein Normenrest des Körpers
nach
sein soll.
Um nun das Symbol
auch für den Fall zu definieren, daß eine der beiden Zahlen
oder beide durch
teilbar sind, braucht man nur die allgemeine Gültigkeit der Formeln
,
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festzusetzen, wobei
ein beliebiger Normenrest des Körpers
nach
bedeuten soll. Bei dieser Festsetzung folgt dann insbesondere
.
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Wir können überhaupt die Definition des Symbols
auf die Formeln
, ,
,
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