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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

ein Vielfaches von $l$ ist. Es sei wiederum ${\mathfrak {w}}^{b}$ die in $\nu$ enthaltene Potenz von ${\mathfrak {w}}$; ist dann $b$ kein Vielfaches von $l$, so kann also $\nu$ nicht Nonnenrest nach ${\mathfrak {w}}$ sein; in diesem Falle wird andererseits $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{b}}{\mathfrak {w}}}\right\}^{-1}\neq 1$. Ist dagegen $b$ ein Vielfaches von $l$, und bedeutet $\alpha$ eine ganze durch ${\mathfrak {w}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {w}}^{2}$ teilbare Zahl in $k(\zeta )$, so setzen wir $\varkappa ={\frac {\nu }{\alpha ^{b}}}$ und erkennen wie im ersteren Falle $\nu$ als Normenrest nach ${\mathfrak {w}}$; andererseits ist jetzt

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{b}}{\mathfrak {w}}}\right\}^{-1}=1$.

Damit ist der Satz 151 auch für den zweiten Fall bewiesen.

Wir nehmen jetzt an, es sei die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ durch das Primideal ${\mathfrak {w}}$ teilbar; ${\mathfrak {w}}$ soll dabei von ${\mathfrak {l}}$ verschieden sein. Es gehe ${\mathfrak {w}}$ in $\nu$ genau zur $b$-ten und in $\mu$ genau zur $a$-ten Potenz auf; dann ist $a$ jedenfalls kein Vielfaches von $l$. Die Zahl $\varkappa ={\frac {\nu ^{a}}{\mu ^{b}}}$ läßt sich in die Gestalt eines Bruches ${\frac {\varrho }{\sigma }}$ setzen, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ zu ${\mathfrak {w}}$ prim sind. Die Zahl $\varrho \sigma ^{l-1}$ ist eine nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbare ganze Zahl; nach dem Beweise des Satzes 150 auf S. 261 ist eine solche ganze Zahl dann und nur dann Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$, wenn sie $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$ ist, d. i. hier, wenn $\left\{{\frac {\varrho \sigma ^{l-1}}{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ und also $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ ist; damit ist für den gegenwärtigen Fall wiederum der Satz 151 als richtig erkannt.

Es sei endlich ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$. Wir fassen lediglich den Fall ins Auge, daß $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist: es ist dies der einzige Fall, für den wir die betreffenden Sätze späterhin brauchen werden; die anderen Fälle gestatten übrigens eine ähnliche Behandlung. Beim Beweise machen wir noch die nicht wesentlich einschränkende Annahme $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$. Wegen der Annahme $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ kann man laut Satz 150 genau $l^{l-1}$ Normenreste $\nu ^{*}$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ bilden, welche kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfallen und untereinander nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ inkongruent sind. Andererseits muß ein jeder Normenrest $\nu ^{*}$ von $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$, für den man $\nu ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ hat, laut Hilfssatz 26 die Bedingung $\left\{{\frac {\nu ^{*},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ erfüllen. Wegen

$\left.{\begin{aligned}1^{(1)}(\mu )&\equiv -1,\\1^{(1)}(1-l)&\equiv 0,1^{(2)}(1-l)\equiv 0,\ldots ,1^{(l-2)}(1-l)\equiv 0,\\1^{(l-1)}(1-l)&\equiv {\frac {1-n(1-l)}{l}}\equiv -1,\end{aligned}}\right\}$ $(l)$

ergibt sich nach (82)

$\left\{{\frac {1-l,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{-1}$.

(98)

Es sei nun erstens $\alpha$ irgendeine ganze Zahl in $k(\zeta )$ mit der Kongruenzeigenschaft

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 273. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/290&oldid=- (Version vom 28.11.2016)