d. i. nach der Definition (82) des Symbols
§ 131:
,
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und hiermit ist der Hilfssatz 26 bewiesen.
§ 133.
Das Symbol
zur Unterscheidung zwischen Normenresten und Normennichtresten.
Wir sind jetzt in den Stand gesetzt, soweit die betreffenden Symbole bereits definiert sind, die Richtigkeit der folgenden Behauptung einzusehen:
Satz 151. Wenn
zwei beliebige ganze Zahlen in
sind, nur daß
nicht in
liegt, und wenn
ein beliebiges Primideal des Kreiskörpers
bedeutet, so ist
Normenrest oder Normennichtrest des durch
bestimmten Kummerschen Körpers
nach
, je nachdem
oder
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ausfällt.
Beweis. Es sei zunächst das Primideal
von
verschieden und gehe nicht in der Relativdiskriminante des Körpers
auf. Ist
eine ganze Zahl in
derart, daß
die
-te Potenz einer Zahl in
ist, so gilt stets
; danach und mit Rücksicht auf Satz 148 können wir hier annehmen, daß
nicht durch
teilbar ist. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem
im Körper
als Produkt von
Primidealen
, …,
darstellbar wird oder in
Primideal bleibt. Nach Satz 149 ist im ersteren Falle
, im letzteren
und
.
Im ersteren Falle bestimmen wir eine ganze Zahl
in
, welche durch
, aber nicht durch
und auch nicht durch eines der Primideale
, …,
teilbar ist; dann geht in der Relativnorm
das Primideal
genau zur ersten Potenz auf. Ist nun
die in
enthaltene Potenz von
, so läßt sich
als ein Bruch schreiben, dessen Zähler und Nenner zu
prim sind, und folglich sind Zähler und Nenner dieses Bruches nach Satz 150 Normenreste des Körpers
nach
. Das gleiche gilt also auch von
. Da nach der Definition in § 131
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ist, so erweist sich im ersteren Falle der Satz 151 als richtig.
Im zweiten Falle ist die Relativnorm einer ganzen Zahl
in
jedesmal genau durch eine solche Potenz von
teilbar, deren Exponent