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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

d. i. nach der Definition (82) des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ § 131:

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$,

und hiermit ist der Hilfssatz 26 bewiesen.

§ 133. Das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ zur Unterscheidung zwischen Normenresten und Normennichtresten.

Wir sind jetzt in den Stand gesetzt, soweit die betreffenden Symbole bereits definiert sind, die Richtigkeit der folgenden Behauptung einzusehen:

Satz 151. Wenn $\nu ,\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind, nur daß ${\sqrt[{l}]{\mu }}$ nicht in $k(\zeta )$ liegt, und wenn ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$ bedeutet, so ist $\nu$ Normenrest oder Normennichtrest des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ bestimmten Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$, je nachdem

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {m}}}\right\}=1$ oder $\neq 1$

ausfällt.

Beweis. Es sei zunächst das Primideal ${\mathfrak {w}}$ von ${\mathfrak {l}}$ verschieden und gehe nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ auf. Ist $\mu ^{*}$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ derart, daß ${\frac {\mu ^{*}}{\mu }}$ die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ ist, so gilt stets $\left\{{\frac {\nu ,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$; danach und mit Rücksicht auf Satz 148 können wir hier annehmen, daß $\mu$ nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar ist. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem ${\mathfrak {w}}$ im Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ als Produkt von $l$ Primidealen ${\mathfrak {W}}_{1}$, …, ${\mathfrak {W}}_{l}$ darstellbar wird oder in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ Primideal bleibt. Nach Satz 149 ist im ersteren Falle $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$, im letzteren $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}\neq 1$ und $\neq 0$.

Im ersteren Falle bestimmen wir eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$, welche durch ${\mathfrak {W}}_{1}$, aber nicht durch ${\mathfrak {W}}_{1}^{2}$ und auch nicht durch eines der Primideale ${\mathfrak {W}}_{2}$, …, ${\mathfrak {W}}_{l}$ teilbar ist; dann geht in der Relativnorm $\alpha =N_{k}({\mathsf {A}})$ das Primideal ${\mathfrak {w}}$ genau zur ersten Potenz auf. Ist nun ${\mathfrak {w}}^{b}$ die in $\nu$ enthaltene Potenz von ${\mathfrak {w}}$, so läßt sich $\varkappa ={\frac {\nu }{\alpha ^{b}}}$ als ein Bruch schreiben, dessen Zähler und Nenner zu ${\mathfrak {w}}$ prim sind, und folglich sind Zähler und Nenner dieses Bruches nach Satz 150 Normenreste des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$. Das gleiche gilt also auch von $\nu$. Da nach der Definition in § 131

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{b}}{\mathfrak {w}}}\right\}^{-1}=1$

ist, so erweist sich im ersteren Falle der Satz 151 als richtig.

Im zweiten Falle ist die Relativnorm einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ jedesmal genau durch eine solche Potenz von ${\mathfrak {w}}$ teilbar, deren Exponent

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 272. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/289&oldid=- (Version vom 20.11.2016)