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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

diese Funktionen werden nur an der Stelle $v=0$ betrachtet werden, und es sollen die Logarithmen so genommen werden, daß sie für $v=0$ reell sind.

Ersetzen wir die Zeichen $\omega$, ${\bar {\omega }}(x)$, $v$ in der dritten Formelzeile auf S. 266 oben bez. durch $f(\zeta )$, $f(x)$, $V$, so wird aus derselben

$\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log f(\mathrm {e} ^{V})}{\mathop {\mathrm {d} } V^{l-1}}}\right]_{V=0}\equiv 1^{(l-1)}{\big (}f(\zeta ){\big )}+{\frac {1-f(1)}{l}}$, $(l)$.

Aus Hilfssatz 24 ergibt sich unter Berücksichtigung von (93) die Kongruenz

$1^{(l-1)}{\big (}f(\zeta ){\big )}\equiv 0$, $(l)$

und folglich wird

$\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}F(v)}{\mathop {\mathrm {d} } V^{l-1}}}\right]_{V=0}=\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log f(\mathrm {e} ^{V})}{\mathop {\mathrm {d} } V^{l-1}}}\right]_{V=0}\equiv {\frac {1-f(1)}{l}}$, $(l)$.

(95)

Andererseits gilt mit Rücksicht auf (94) die Kongruenz

$f{\big (}\mu (\mathrm {e} ^{v}){\big )}\equiv \nu (\mathrm {e} ^{v})+{\frac {f(1)-1}{l}}v^{l-1}$, $(l),$

welche so aufzufassen ist, daß in den Entwicklungen nach Potenzen von $v$ die Koeffizienten von $1$, $v$, …, $v^{l-1}$ auf den beiden Seiten einander nach $l$ kongruent sind, und hieraus ergibt sich die Entwicklung

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\mathop {\mathrm {d} } F(v)}{\mathop {\mathrm {d} } v}}\equiv &1^{(1)}(\nu )+1^{(2)}(\nu ){\frac {v}{1!}}+1^{(3)}(\nu ){\frac {v^{2}}{2!}}+\cdots \\&\cdots +\left(1^{(l-1)}(\nu )+{\frac {1-f(1)}{l}}\right){\frac {v^{l-2}}{(l-2)!}},\qquad (l),\end{aligned}}\right\}$

(96)

welche so aufzufassen ist, daß die Koeffizienten von $1$, $v$, …, $v^{l-2}$ auf den beiden Seiten einander nach $l$ kongruent sind.

Endlich betrachten wir die Funktion $\varphi (v)$. Wegen $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird $\varphi (v)$ eine Potenzreihe, deren konstantes Glied $\equiv -1$ nach $l$ ist. Ferner folgt leicht

${\big (}\varphi (v){\big )}^{l}\equiv \varphi (v^{l})\equiv \varphi (0)\equiv -1$, $(l)$

in dem Sinne, daß die Koeffizienten von $1$, $v$, …, $v^{l-2}$ auf den beiden Seiten einander nach $l$ kongruent sind. Es gilt daher weiter in demselben Sinne

$-{\big (}\varphi (v){\big )}^{l-1}\equiv {\frac {\log \mu (\mathrm {e} ^{v})}{v}}$, $(l)$,

und es folgt hieraus endlich in eben demselben Sinne die Entwicklung

$\left.{\begin{aligned}-{\big (}\varphi (v){\big )}^{l-1}\equiv &1^{(1)}(\mu )+1^{(2)}(\mu ){\frac {v}{2!}}+1^{(3)}(\mu ){\frac {v^{2}}{3!}}+\cdots \\&\cdots +1^{(l-1)}(\mu ){\frac {v^{l-2}}{(l-1)!}},\qquad (l).\end{aligned}}\right\}$

(97)

Die Zusammenstellung der Kongruenz (95) und der beiden Entwicklungen (96), (97) mit (92) liefert, wegen $1^{(1)}(\mu )\equiv -1$ und $(l-g)!(g-1)!\equiv (-1)^{g}$ nach $l$ für $g=1,2,\ldots ,l-1$, die folgende Kongruenz:

$1^{(l-1)}(\nu )1^{(1)}(\mu )-1^{(l-2)}(\nu )1^{(2)}(\mu )+\cdots -1^{(1)}(\nu )1^{(l-1)}(\mu )\equiv 0$, $(l)$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 271. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/288&oldid=- (Version vom 10.11.2016)