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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

Setzen wir zweitens in der Entwicklung (85) $\xi =\mathrm {e} ^{v}$ ein und bilden den $(l-1)$-ten Differentialquotienten nach $v$, so wird derselbe für $v=0$:

$\left.{\begin{aligned}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (1+x(\mathrm {e} ^{v}-1))}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-1}}}\right]_{v=0}=&{\frac {x}{1!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=1}\\&+{\frac {2^{l-1}-2\cdot 1^{l-1}}{2!}}x^{2}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{2}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{2}}}\right]_{x=1}\\&+{\frac {3^{l-1}-3\cdot 2^{l-1}+3\cdot 1^{l-1}}{3!}}x^{3}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{3}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{3}}}\right]_{x=1}+\cdots \\&+{\frac {(l-1)^{l-1}-\cdots -(l-1)1^{l-1}}{(l-1)!}}x^{l-1}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{l-1}}}\right]_{x=1}\\\equiv &{\frac {x}{1!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=1}-{\frac {x^{2}}{2!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{2}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{2}}}\right]_{x=1}+\cdots \\&\cdots -{\frac {x^{l-1}}{(l-1)!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{l-1}}}\right]_{x=1},\qquad (l).\end{aligned}}\right\}$

(87)

Durch Vergleichung der beiden Formeln (86) und (87) ergibt sich

$\log F(x)\equiv -l\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (1+x(\mathrm {e} ^{v}-1))}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-1}}}\right]_{v=0}$, $(l^{2})$,

d. h. die Koeffizienten von $x$, $x^{2}$, …, $x^{l-1}$ auf der linken Seite sind den entsprechenden Koeffizienten rechts nach $l^{2}$ kongruent, und wenn wir beide Seiten dieser Kongruenz in den Exponenten von $\mathrm {e}$ setzen, so erhalten wir zunächst in demselben Sinne, dann aber mit Rücksicht auf die zu Beginn dieses Beweises gemachte Bemerkung auch vollständig die Kongruenz der zwei ganzzahligen Funktionen:

$F(x)\equiv 1-l\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (1+x(\mathrm {e} ^{v}-1))}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-1}}}\right]_{v=0}$, $(l^{2})$,

und folglich für $x=1$:

$n(\omega )\equiv 1-l\cdot 1^{(l-1)}(\omega )$, $(l^{2})$,

womit der Hilfssatz 24 bewiesen ist.

Hilfssatz 25. Wenn die ganzen Zahlen $\nu$, $\mu$ in $k(\zeta )$ die Kongruenzeigenschaften $\nu =1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ besitzen, und wenn außerdem $\nu$ kongruent der Relativnorm einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}$ des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ bestimmten Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ist, so existiert eine ganzzahlige Funktion $f(x)$ vom $(l-1)$-ten Grade in $x$, derart, daß $f(1)>0$ ist und die Kongruenzen

$n(f(\zeta ))\equiv 1$, $(l^{2})$

und

$\nu \equiv f(\mu ),$ $({\mathfrak {l}}^{l})$

erfüllt sind. [Kummer (20^[1])].

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1. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 268. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/285&oldid=- (Version vom 10.11.2016)