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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

§ 132. Einige Hilfssätze über das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ und über Normenreste nach dem Primideal ${\mathfrak {l}}$.

Hilfssatz 24. Wenn $\omega$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ mit der Kongruenzeigenschaft $\omega \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist, so gilt für die Norm $n(\omega )$ von $\omega$ in $k(\zeta )$ die Kongruenz

$1^{(l-1)}(\omega )\equiv {\frac {1-n(\omega )}{l}}$, $(l)$.

[Kummer (20^[1])].

Beweis. Es bedeute $\omega (x)$ die zu $\omega$ gehörende Funktion, und es werde

$F(x)=\prod _{(g)}\omega {\big (}1+x(\zeta ^{g}-1){\big )}$

gesetzt, wo das Produkt über die Werte $g=0,1,2,\ldots ,l-1$ zu erstrecken ist. Der Ausdruck $F(x)$ stellt eine ganzzahlige Funktion von $x$ dar und die Koeffizienten aller durch $x^{l}$ teilbaren Glieder dieser Funktion sind offenbar durch $\lambda ^{l}$ und folglich wegen der Rationalität der Koeffizienten auch durch $l^{2}$ teilbar. Durch Entwicklung nach Potenzen von $x$ ergibt sich nun:

$\left.{\begin{aligned}\log \omega {\big (}1&+x(\xi -1){\big )}={\frac {\xi -1}{1!}}x\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=1}\\&+{\frac {(\xi -1)^{2}}{2!}}x^{2}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{2}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{2}}}\right]_{x=1}+\cdots \\\cdots &+{\frac {(\xi -1)^{l-1}}{(l-1)!}}x^{l-1}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{l-1}}}\right]_{x=1}+\cdots .\end{aligned}}\right\}$[WS 2]

(85)

Setzen wir erstens in dieser Entwicklung der Reihe nach

$\xi =1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{l-1}$

ein und addieren die betreffenden Formeln, so entsteht unter Berücksichtigung von

$(\zeta -1)^{g}+(\zeta ^{2}-1)^{g}+\cdots +(\zeta ^{l-1}-1)^{g}=(-1)^{g}l,$ $(g=1,2,\ldots ,l-1)$

die Gleichung:

$\left.{\begin{aligned}\log F(x)&=l\left\{-{\frac {x}{1!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=1}\right.\\&+{\frac {x^{2}}{2!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{2}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{2}}}\right]_{x=1}-\cdots \\\cdots &+\left.{\frac {x^{l-1}}{(l-1)!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{l-1}}}\right]_{x=1}\right\}+x^{l}G,\end{aligned}}\right\}$[WS 2]

(86)

wobei $x^{l}G$ das Aggregat der durch $x^{l}$ teilbaren Glieder der Entwicklung andeutet.

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1. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Vorlage: $l-1!$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 267. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/284&oldid=- (Version vom 10.11.2016)