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eine ganzzahlige Funktion -ten Grades dar, welche im allgemeinen nicht der Gleichung , aber jedenfalls der Kongruenz

, 

genüge leistet und also für zu prim ausfällt. Zwischen den Differentialquoten von für und den soeben eingeführten Differentialquotienten (81) bestehen folgende Kongruenzen:

Die Richtigkeit dieser Kongruenzen erkennen wir leicht wegen

in der ersten Formel bedeutet eine bestimmte ganzzahlige Funktion von , und die zweite Formel soll besagen, daß in den Entwicklungen der beiden Seiten dieser Kongruenz nach Potenzen von die Koeffizienten von , , , …, nach kongruent ausfallen.

Sind , , irgend zwei ganze Zahlen in mit der Kongruenzeigenschaft , nach , so definieren wir das Symbol wie folgt:

. (82)

Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Regeln:

(83)

wo , , , , , beliebige ganze Zahlen nach in bedeuten können. Bezeichnet eine Primitivzahl nach und die entsprechende Substitution der Gruppe des Kreiskörpers , so gilt, wie leicht ersichtlich ist, die weitere Formel

. (84)

Sind , beliebige zu prime ganze Zahlen des Körpers , so definiere ich das Symbol durch die Formel

.

Für den Fall, daß eine der Zahlen , oder beide durch teilbar sind, vergleiche man die Bemerkungen gegen Schluß des § 133.

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 266. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/283&oldid=- (Version vom 10.11.2016)