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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

eine ganzzahlige Funktion $t$-ten Grades dar, welche im allgemeinen nicht der Gleichung ${\bar {\omega }}(1)=1$, aber jedenfalls der Kongruenz

${\bar {\omega }}(1)\equiv 1$, $(l)$

genüge leistet und also für $x=1$ zu $l$ prim ausfällt. Zwischen den Differentialquoten von $\log {\bar {\omega }}(\mathrm {e} ^{v})$ für $v=0$ und den soeben eingeführten Differentialquotienten (81) bestehen folgende Kongruenzen:

${\begin{aligned}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{g}\log {\bar {\omega }}(\mathrm {e} ^{v})}{\mathop {\mathrm {d} } v^{g}}}\right]_{v=0}&\equiv 1^{(g)}(\omega ),\qquad (l),\qquad (g=1,2,\ldots ,l-2)\\\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log {\bar {\omega }}(\mathrm {e} ^{v})}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-1}}}\right]_{v=0}&\equiv 1^{(l-1)}(\omega )+{\frac {1-{\bar {\omega }}(1)}{l}},\qquad (l).\end{aligned}}$

Die Richtigkeit dieser Kongruenzen erkennen wir leicht wegen

${\begin{aligned}\omega (x)&={\bar {\omega }}(x)+{\frac {1-{\bar {\omega }}(1)}{l}}(1+x+\cdots +x^{l-1})+O(x)(x^{l}-1),\\\omega (\mathrm {e} ^{v})&={\bar {\omega }}(\mathrm {e} ^{v})+{\frac {1-{\bar {\omega }}(1)}{l}}v^{l-1},\qquad (l);\end{aligned}}$

in der ersten Formel bedeutet $O(x)$ eine bestimmte ganzzahlige Funktion von $x$, und die zweite Formel soll besagen, daß in den Entwicklungen der beiden Seiten dieser Kongruenz nach Potenzen von $v$ die Koeffizienten von $1$, $v$, $v^{2}$, …, $v^{l-1}$ nach $l$ kongruent ausfallen.

Sind $\nu$, $\mu$, irgend zwei ganze Zahlen in $k(\zeta )$ mit der Kongruenzeigenschaft $\nu \equiv 1$, $\mu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, so definieren wir das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ wie folgt:

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{l^{(1)}(\nu )l^{l-1}(\mu )-1^{(2)}(\nu )l^{(l-2)}(\mu )+\cdots -1^{(l-1)}(\nu )l^{(1)}(\mu )}$.

(82)

Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Regeln:

$\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\nu _{1}\nu _{2},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}&=\left\{{\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\},\\\left\{{\frac {\nu ,\mu _{1},\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right\}&=\left\{{\frac {\nu ,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu ,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right\},\\\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {l}}}\right\}&=1,\end{aligned}}\right\}$

(83)

wo $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige ganze Zahlen $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ in $k(\zeta )$ bedeuten können. Bezeichnet $r$ eine Primitivzahl nach $l$ und $s=(\zeta :\zeta ^{r})$ die entsprechende Substitution der Gruppe des Kreiskörpers $k(\zeta )$, so gilt, wie leicht ersichtlich ist, die weitere Formel

$\left\{{\frac {s\nu ,s\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}^{r}$.

(84)

Sind $\nu$, $\mu$ beliebige zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahlen des Körpers $k(\zeta )$, so definiere ich das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ durch die Formel

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ^{l-1},\mu ^{l-1}}{\mathfrak {l}}}\right\}$.

Für den Fall, daß eine der Zahlen $\nu$, $\mu$ oder beide durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar sind, vergleiche man die Bemerkungen gegen Schluß des § 133.

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 266. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/283&oldid=- (Version vom 10.11.2016)